大理州南涧县民族中学高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年云南省大理州南涧县民族中学高二（下）期中数学试卷(理科）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．若集合A=｛x∈Z|﹣2＜x＜2｝，B=｛x|y=log2x2}，则A∩B=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{1｝ D．｛0，1}2．若复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（)A． B． C． D．3．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A．4 B．2 C． D．4．将函数y=的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是（）A． B． C． D．5．已知λ∈R，向量,则“λ=3”是“”的(）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件6．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a,b，i的值分别为6,8,0时,则输出的i=（)A．6 B．5 C．4 D．37．若等比数列｛an}，前n项和Sn，且a2a3=2a1，为a4与2a7的等差中项，则S4=（）A．29 B．30 C．31 D．338．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是(）A．210 B．84 C．343 D．3369．已知函数f(x）=log3|x﹣t｜是偶函数,记则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．如图为某几何体的三视图，则其体积为(）A．π+ B．+4 C．π+ D．π+411．已知数列{an｝为等差数列，满足，其中A,B，C在一条直线上,O为直线AB外一点，记数列{an｝的前n项和为Sn，则S2018的值为(）A． B．2017 C． D．201812．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x)，且f(﹣x）=f（2+x),f（2）=1,则不等式f（x）＜ex的解集为（）A．（﹣2，+∞） B．(2,+∞) C．（1,+∞） D．(0，+∞）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．13．已知x，y满足约束条件，求z=（x+1）2+（y﹣1）2的最小值是．14．的展开式中,x2项的系数为．（用数字作答）15．已知双曲线与的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（双曲线的焦距2c），则该双曲线的离心率为．16．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2,设三棱锥A﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为．三．解答题：要求写出计算或证明步骤（本大题共6小题，共70分,写出证明过程或演算步骤）17．在公差不为零的等差数列｛an}和等比数列{bn｝中．已知a1=b1=1．a2=b2．a6=b3（1）求等差数列｛an}的通项公式an和等比数列｛bn｝的通项公式bn；(2）求数列{an•bn}的前n项和Sn．18．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11)若AB=3,AC边上的中线BD的长为,求△ABC的面积．19．如图在直角梯形BB1C1C中,∠CC1B1=90°，BB1∥CC1，CC1=B1C1=2BB1=2，D是CC1的中点．四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到,且二面角B1﹣CC1﹣A为120°．（1）若点E是线段A1B1上的动点，求证:DE∥平面ABC；（2)求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．20．现有4名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为1或2的人去参加甲类活动，掷出点数大于2的人去参加乙类活动．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲类活动的概率;（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙两类活动的人数．记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．21．已知椭圆A，B满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为．（1）求椭圆C的方程;（2）设O为坐标原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．22．已知函数f（x）=(x+1）lnx﹣ax+a（a为常数，且为正实数）．（1）若f（x）在(0，+∞）上单调递增，求a的取值范围;(2）若不等式（x﹣1）f（x)≥0恒成立，求a的取值范围．

2016—2017学年云南省大理州南涧县民族中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的．）1．若集合A=｛x∈Z｜﹣2＜x＜2}，B={x｜y=log2x2}，则A∩B=（）A．｛﹣1,1｝ B．{﹣1，0,1｝ C．｛1} D．{0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B,根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A=｛x∈Z|﹣2＜x＜2}={﹣1，0,1}，B={x｜y=log2x2}={x｜x2＞0}={x|x＜0或x＞0｝，∴A∩B=｛﹣1,1｝．故选：A．2．若复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A． B． C． D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算求出z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解依题意得：，∴的共轭复数．故选：D．3．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A．4 B．2 C． D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=ax2（a＞0）化为，可得．再利用抛物线y=ax2(a＞0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论．【解答】解：抛物线方程化为，∴，∴焦点到准线距离为，∴，故选D．4．将函数y=的图象向左平移m（m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A． B． C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到y=2sin［（x+m）+］=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z)，由于m＞0,则m的最小值为．故选：A．5．已知λ∈R,向量,则“λ=3”是“"的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：由⇒λ（λ﹣1）﹣6=0,解得λ=3或﹣2．∴“λ=3"是“”的充分不必要条件．故选；B．6．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0时，则输出的i=（)A．6 B．5 C．4 D．3【考点】EF：程序框图．【分析】由循环结构的特点,先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得:a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8﹣6=2，i=2满足a＞b，a=6﹣2=4,i=3满足a＞b，a=4﹣2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b,输出a的值为2，i的值为4．故选：C．7．若等比数列{an｝，前n项和Sn，且a2a3=2a1，为a4与2a7的等差中项，则S4=（)A．29 B．30 C．31 D．33【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】设等比数列｛an｝的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,解方程可得首项和公比,运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：设等比数列{an｝的公比为q，a2a3=2a1，为a4与2a7的等差中项，可得a1q•a1q2=2a1，2×=a4+2a7=a1q3+2a1q6,解得q=，a1=16，则S4===30．故选：B．8．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是()A．210 B．84 C．343 D．336【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人,若有一个台阶有2人另一个是1人,根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有种,所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种．故选：D．9．已知函数f（x）=log3｜x﹣t|是偶函数,记则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由f（x)为偶函数，可得t=0，讨论x＞0时，f（x）递增,化a=f(log0。30。25）,运用指数函数和对数函数的单调性，比较π1。5、2、log0.30.25的大小,即可得到a，b，c的大小关系．【解答】解:函数f（x）=log3|x﹣t|是偶函数，可得f(﹣x）=f（x），即log3｜﹣x﹣t|=log3｜x﹣t|,即有｜﹣x﹣t｜=｜x﹣t|恒成立，可得t=0，则f（x）=log3|x|,当x＞0时，f（x）=log3x为增函数，a=f（log0。34）=f(log0.30。25），c=f（2﹣t）=f（2），由1＜log0。30.25＜2，π1.5＞π＞3，即有π1。5＞2＞log0.30.25，则f（π1.5）＞f(2）＞f(log0.30。25）,即为b＞c＞a．故选：A．10．如图为某几何体的三视图，则其体积为(）A．π+ B．+4 C．π+ D．π+4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知:该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．则体积V=+=．故选：A．11．已知数列{an}为等差数列，满足，其中A，B,C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{an}的前n项和为Sn,则S2018的值为(）A． B．2017 C． D．2018【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出a3+a2016=1由数列{an｝是等差数列，能求出｛an｝的前2018项和．【解答】解：∵数列｛an}为等差数列，满足，其中A，B，C在一条直线上,O为直线AB外一点，∴a3+a2016=1∵数列｛an｝是等差数列，∴｛an}的前2018项和：S2018=（a1+a2018)=(a3+a2018)=．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′（x）,满足f′（x）＜f（x），且f（﹣x）=f（2+x），f（2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（)A．（﹣2,+∞） B．(2,+∞） C．（1，+∞） D．（0，+∞）【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=,利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得g(0）=1,即可得出．【解答】解：令g（x）=,则g′（x）=，∵f′（x）＜f(x），∴g′（x）＜0．∴g（x)在R上单调递减．∵f（﹣x）=f（2+x），∴f（x+1）=f（﹣x+1），∴函数关于x=1对称,∴f(0）=f(2）=1，原不等式等价为g（x）＜1，∵g（0)==1．∴g（x）＜1⇔g（x）＜g(0），∵g（x）在R上单调递减，∴x＞0．∴不等式f（x）＜ex的解集为（0，+∞），故选:D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．13．已知x，y满足约束条件，求z=（x+1）2+（y﹣1)2的最小值是．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义以及距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z的几何意义为区域内的点到定点D(﹣1，1）的距离的平方,由图象知，D到直线AB:x﹣y+1=0的距离最小,此时d==，则z=d2=（）2=，故答案为:．14．的展开式中，x2项的系数为﹣20．(用数字作答）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2,求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解:在的展开式中，它的通项公式为Tr+1=•x5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3,可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为:﹣20．15．已知双曲线与的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（双曲线的焦距2c），则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式，求得a与b的关系，利用双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,圆(x﹣c）2+y2=4a2的圆心（c,0）到双曲线的渐近线的距离为：=b，∵渐近线被圆(x﹣c）2+y2=4a2截得的弦长为2b,∴b2+b2=4a2，∴b2=2a2，即c2=3a2，∴e==．故答案为:．16．三棱锥A﹣BCD中,AB，AC,AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A﹣BCD的侧面积为S,则S的最大值为8．【考点】LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后利用基本不等式解答即可．【解答】解:设AB,AC，AD分别为a，b，c，则三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球,对角线的长为球的直径，∴a2+b2+c2=16，S=(ab+bc+ac)≤(a2+b2+c2）=8，故答案为：8．三．解答题：要求写出计算或证明步骤（本大题共6小题，共70分,写出证明过程或演算步骤）17．在公差不为零的等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中．已知a1=b1=1．a2=b2．a6=b3(1）求等差数列{an｝的通项公式an和等比数列｛bn｝的通项公式bn；（2）求数列｛an•bn｝的前n项和Sn．【考点】8E：数列的求和；84:等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知条件结合等差数列和等比数列的性质，列出方程组,求出等差数列｛an｝的公差和等比数列{bn｝的公比，由此能求出等差数列｛an}和等比数列｛bn}的通项公式．（2）由an•bn=（3n﹣2）•4n﹣1，利用错位相减法能求出数列{an•bn｝的前n项和Sn．【解答】解:（1）∵公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn｝中．a1=b1=1，a2=b2,a6=b3，∴，且d≠0，解得d=3，q=4，∴an=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，bn=qn﹣1=4n﹣1．（2）由(1）得an•bn=（3n﹣2)•4n﹣1，∴Sn=1•40+4×4+7×42+…+（3n﹣2）•4n﹣1，①4Sn=4+4×42+7×43+…+（3n﹣2)•4n，②①﹣②,得：﹣3Sn=1+3（4+42+43+…+4n﹣1)﹣(3n﹣2）•4n=1+3×﹣（3n﹣2）•4n=﹣3﹣（3n﹣3)•4n．∴Sn=1+（n﹣1）•4n．18．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin(C+）=b．（1）求角A的值：（11)若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式,即可求角A的值:（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解:（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin(C+）=sin（A+C),∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC,∴tanA=，∴A=60°;(2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°,∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．19．如图在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1=90°，BB1∥CC1，CC1=B1C1=2BB1=2，D是CC1的中点．四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到，且二面角B1﹣CC1﹣A为120°．（1）若点E是线段A1B1上的动点，求证:DE∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法;LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图所示，连接B1D，DA1．由已知可得四边形B1BDC是平行四边形，B1D∥BC，可得B1D∥平面ABC．同理可得:DA1∥平面ABC．可得平面B1DA1∥平面ABC;即可证明DE∥平面ABC．（2）作C1M⊥C1B1交A1B1于点M，分别以C1M，C1B1，C1C为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设平面ABC的法向量为=（x1，y1，z1），则，可得．设平面A1ACC1ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，可得．利用=即可得出．【解答】(1)证明：如图所示，连接B1D，DA1．由已知可得：，∴四边形B1BDC是平行四边形,∴B1D∥BC，而BC⊂平面ABC，B1D⊄平面ABC;∴B1D∥平面ABC．同理可得：DA1∥平面ABC．又A1D∩DB1=D,∴平面B1DA1∥平面ABC；DE⊂平面B1DA1；∴DE∥平面ABC．（2）解：作C1M⊥C1B1交A1B1于点M，分别以C1M，C1B1,C1C为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则C1（0,0，0），A1(，﹣1，0），B（0，2,1),C（0，0，2）,A(，﹣1，1），=（，﹣1，﹣1）,=（0，2,﹣1），=(0，0,2）．设平面ABC的法向量为=（x1,y1，z1),则，即，取=(，1，2）．设平面A1ACC1ABC的法向量为=（x2，y2,z2）,则，即，取=（1，，0）．∴===．∴二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是．20．现有4名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为1或2的人去参加甲类活动，掷出点数大于2的人去参加乙类活动．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲类活动的概率;(2)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙两类活动的人数．记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CG:离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）依题意，这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0,1,2，3,4）,故P（Ai）=（)i（)4﹣i．由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．(2）ξ的所有可能取值为0，2,4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1,2，3，4),故P（Ai）=（）i（）4﹣i．∴这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=．(2）ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥，A0与A4互斥,故P（ξ=0）=P（A2）=，P(ξ=2)=P(A1）+P(A3）=，P（ξ=4）=P(A0)+P（A4)=，∴ξ的分布列是：ξ024P数学期望Eξ=0×+2×+4×=．21．已知椭圆A，B满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为．(1）求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上，且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．(2）设点A，B的坐标分别为（t，2）,（x0，y0），由OA⊥OB知tx0+2y0=0，再由=4，利用基本不等式能求出线段AB长度的最小值．【解答】解：（1）设椭圆的短轴端点为（0，﹣b)（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率k==tan=1，∴，又,∴a=2