高中数学第24讲任意三角函数同角公式与诱导课件新人教版必修

(必修4)第一章三角函数第24讲任意角的三角函数、同角公式与诱导公式知识体系1.了解任意角与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.4.能利用单位圆中的三角函数线推导正弦、余弦、正切的诱导公式.5.能灵活应用同角公式、诱导公式进行简单三角函数的化简、求值、证明.1.下列说法正确的是()BA.若α的终边在第一象限，则α可以是正角、负角或零角B.6×360°+α（α为角度）与-6π+α(α为弧度)的终边相同,但大小不相等C.一条弦的长度等于半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为D.若β为第二象限角,则2nπ+<<2nπ+，n∈Z2p

选项A中零角一定为坐标轴上角，故错；由终边相同概念和角度与弧度互化知，B正确；选项C中弧度数还可能为；D中由第二象限角范围得nπ+<<nπ+，n∈Z，故错.2p2.若角α的终边经过点P（3a,-4a)(a<0)，则sinα的值为()DA.-B.C.-D.

P(3a,-4a)（a<0)，则x=3a，y=-4a，则|OP|=5|a|=-5a，故sinα==.3.

已知x为第二象限角，且tan2x+3tanx-4=0，则=

.tan2x+3tanx-4=0，则tanx=-4或tanx=1（舍去）.由同角公式得

==.=-+原式=tan(360°-60°)+=-tan60°+=.4.tan300°+的值为

.5.化简：若α为第二象限角，则-=

.-2tanα

原式====-2tanα.1.角的概念的推广(1)任意角、正角、负零和零角.(2)象限角、轴线角.(3)终边相同的角:可以用①

.表示.k·360°+α(k∈Z)或k·2π+α(k∈Z)2.任意角的三角函数P（x,y）为角α终边上一点，|OP|=r，则sinα=②

，cosα=③

，tanα=④

（x≠0）.3.同角三角函数关系式平方关系：sin2α+cos2α=⑤

.商数关系：tanα=⑥

.14.诱导公式(1)2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的⑦

函数值,前面加上把角α看成⑧

时⑨

的符号.即“名称不变,符号看象限”.(2)±α的三角函数值等于α的

.函数值，前面加上把α看成

.

时

.的符号.即“名称要变，符号看象限”.(3)k·±α（k∈Z）的三角函数值，可概括为：“奇变偶不变，符号看象限”.同名锐角原函数值10余名11锐角12原函数值题型一角的相关概念及角的度量互化例1

(1)集合M={x|x=×180°+45°,k∈Z},N={x|x=×180°+45°,k∈Z},则集合M与N的关系为

；MN(2)把-1305°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是()A.-7π-

B.-6π-C.-8π+

D.-9π+C(1)先变形，再对整数k的奇、偶展开讨论，找到角终边的具体位置，用数形结合法求解；(2)先把角度化成弧度，再写成2kπ+α的形式，满足α、k的限制条件.

(1)因为M={x|x=(2k+1)×45°，k∈Z}表示终边落在四个象限的平分线上的角的集合.同理N={x|x=(k+1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合，所以M

N.(2)因为1305°=1305×=π=7π+,所以-1305°=-7π-

=-8π+(π-)=-8π+.此时k=-4,α=，故选C.

探寻以集合形式表示的终边相同的角的关系时，对整数k的讨论最关键；若题中给出了(m为已知整数，k∈Z)，常分k=mk′，mk′+1，mk′+2，…，mk′+(m-1)(k′∈Z)完全讨论，角度与弧度的互化，除满足限制条件外，还需注意结果的纯洁性：角度、弧度要“分家”.题型二三角函数的化简、求值例2

已知cosα=-，且<α<π，求的值.

从cosα=-中可推知sinα，tanα的值，再用诱导公式即可求值.因为cosα=-，且<α<π，所以sinα=，tanα=-,所以原式==-tanα=.(1)应用诱导公式进行三角函数的化简，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，解题思路是“化负角为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为锐角”，即“去负→脱周→化锐”三步.(2)掌握常用的勾股数组“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”，“8，15，17”，“9，40，41”，快速给值求值.题型三三角关系式的应用

已知sin(π-θ)，cosθ是方程3x2-x+m=0的两个根，且<θ<π.(1)求m与sinθ-cosθ的值；(2)若f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3，求f(cosθ-sinθ)的值.例3

（1）由根与系数的关系得sinθ+cosθ，sinθ·cosθ的值，再根据“sinθ+cosθ，sinθ·cosθ,sinθ-cosθ”中“知一求二，知二求参”，配上公式正确求值.（2）先求出f(x)的表达式，再代值求值.

（1）依题意sin(π-θ)+cosθ=sin(π-θ)·cosθ=，即sinθ+cosθ=①sinθ·cosθ=,②由①2-2×②=1,得()2-2×=1,解得m=-.又因为<θ<π,sinθ>0,cosθ<0,sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ===.(2)因为f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3=-3=-3.所以f(cosθ-sinθ)=f(-)=-3=-.(1)在“sinθ+cosθ,sinθ·cosθ,sinθ-cosθ”中“知一求二”,宜用整体思想,利用平方转换,常用结论为：

(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ，

(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2；

(sinθ+cosθ)2-(sinθ-cosθ)2=4sinθcosθ.(2)型如通过分子分母同除以cosα,弦化切、异名化同名；

asin2α+bsinαcosα+ccos2α通过添分母(sin2α+cos2α),再分子、分母同除以cos2α，化弦为切、统一函数名.1.在求值与化简时，常用的方法有：①弦切互化，主要公式为