第二章直线与圆的方程（知识归纳题型突破）

第二章直线与圆的方程（知识归纳+题型突破）1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素;2.理解直线倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式;3.能根据斜率判定两条直线平行和垂直;4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式);5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标;6.探索并掌握平面上两点间的距离公式,点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离；7.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；8.判断直线与圆、圆与圆的位置关系；9.用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0(3)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．二、两条直线平行和垂直的判定1．两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示2．两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【注】判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．三、直线的方程1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.3．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当时，直线方程为(或).

③当时，直线方程为(或).4．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.5．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.

(2)一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.6．辨析直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知

一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、

y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0

(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程7．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.四、求直线方程的方法1．求直线方程的一般方法(1)直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).2．两条直线的位置关系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（当时，记为）五、直线的交点与距离1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线,直线.方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.4．中点坐标公式公式：

设平面上两点，线段的中点为，则.六、圆的方程1．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.2．圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程(r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3．圆的一般方程(1)方程叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.4．二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，对比圆的一般方程，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.(2)二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是5．点与圆的位置关系(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为.平面内一点.位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MA|=r(x0a)2+(y0b)2=r2点在圆内|MA|<r(x0a)2+(y0b)2<r2点在圆外|MA|>r(x0a)2+(y0b)2>r2七、直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组

解的情况有两组不

同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：

①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.②重要结论：a.经过圆上一点P的切线方程为.

b.经过圆上一点P的切线方程为.

c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.3．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.九、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2四条外切d=r1+r2三条相交|r1r2|<d<r1+r2两条内切d=|r1r2|一条内含0≤d<|r1r2|无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.2．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.3．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.题型一直线的倾斜角与斜率【例1】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.【详解】法一：联立两直线方程，得，解得，所以两直线的交点坐标为.因为两直线的交点在第一象限，所以，解得，设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以.法二：由题意，直线l过定点，设直线与x轴、y轴的交点分别为.如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，∴的倾斜角为，的倾斜角为.∴直线l的倾斜角的取值范围是.故选：D反思总结(1)对于一条与α轴相交的直线,以α轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α,即为直线l的倾斜角,也就是说把α轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时,所转的最小正角记为α,那么α就称为直线的倾斜角.(2)规定:当直线l与α轴平行或重合时,它的倾斜角为0.(3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0,π).(4)斜率公式:经过P(x1，y1),P(x2,y2)(x1≠x2)>两点的直线的斜率为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).(5)任何一条直线都有倾斜角,但并非所有直线都有斜率,倾斜角为eq\f(π,2)的直线斜率不存在.巩固训练：1.已知直线，若，则a＝（

）A．0 B．C．1 D．±1【答案】B【分析】由斜率相等、截距不相等得出的值.【详解】因为，所以，所以，又，两直线l1与l2不能重合，则，即，故.故选：B2.已知直线，，若；，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两直线平行可构造方程求得的值，由推出关系可得结论.【详解】若，则，解得：或，经检验，符合.，，是的必要不充分条件.故选：B.3.已知直线，则（

）A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或C．若，则 D．若不经过第二象限，则【答案】ACD【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率，直线的斜率，则有，即，解得或，当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；对C，若，当时，显然不合题意，则，则，即，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；故选：ACD.4.已知直线l1经过，直线l2经过点.(1)若l1∥l2，求的值；(2)若l1⊥l2，求的值.【答案】(1)＝1或＝6(2)＝3或＝－4【分析】（1）由两直线的斜率相等列方程可求出的值，（2）由k1k2＝－1，可求出的值.【详解】（1）由题知直线l2的斜率存在且，若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，得，解得m＝1或m＝6，经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.（2）若l1⊥l2，当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1，即，解得m＝3或m＝－4，所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.题型二直线的方程【例2】过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；所以直线斜率存在设为，则直线方程为，联立直线得：，联立直线得：，，所以直线与直线，直线的交点为：，又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，所以，解得：，所以直线的方程为：，故选：B.反思总结求直线方程是解析几何中的基础知识与基本技能。求直线的方程,一般采用待定系数法,将直线方程设成点斜式或斜截式。或者根据题目条件的特点，使用其他直线方程的基本形式。直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．巩固训练1.求满足下列条件的直线方程．(1)经过点，且斜率等于直线斜率的3倍；(2)过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先由已知直线方程求出斜率，再可求出所求直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程，（2）设直线的方程为，则由题意可得，求出，从而可求得直线方程【详解】（1）直线可化为，斜率为，所以所求直线的斜率为故所求直线方程为，即（2）设直线的方程为，，解得，故所求的直线方程为，即或2.已知直线，直线过点，__________．在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．(1)求的一般式方程；(2)若与在轴上的截距相等，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可；（2）先求得直线在轴上的截距为，故直线过点，代入，求解即可.【详解】（1）选择①：由题意可设直线的方程为，因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，所以直线的方程为，即．

选择②：由题意可设直线的方程为，，因为直线过点，所以，解得．所以直线的方程为，即．（2）由（1）可知直线的方程为，令，可得，所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为．故直线过点，代入，得，解得．3.已知直线．求证：无论m为何实数，直线恒过一定点M．【答案】证明见解析【分析】根据方程的特征，通过解方程组法进行求解即可.【详解】将直线的方程化为，解方程组解得故直线l1恒过定点．4.设直线l的方程为(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.【答案】(1)或.(2)6，【分析】（1）分截距是否为0两种情况，求得参数a，即可得答案.（2）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为.当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，故，解得，可得直线l的方程为:.综上所述，直线l的方程为或.（2）由题意知，令，解得，解得；令，解得，解得或.综上有.∴，当且仅当，即时取等号.∴（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程，即.题型三直线的交点坐标与距离公式[例3]已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（

）A．点的坐标为 B．C．的最大值为10 D．的轨迹方程为【答案】BC【分析】根据直线方程求出定点的坐标，判断A，证明直线垂直，判断B，再结合判断C，D.【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点，直线的方程可化为，所以直线过定点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以A错误，由已知，所以直线与直线垂直，即，B正确，因为，所以，故，所以，当且仅当时等号成立，C正确；因为，故，设点的坐标为，则，化简可得，又点不是直线的交点，点在圆上，故点的轨迹为圆除去点，D错误；故选：BC.反思总结(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程.利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．巩固训练1．若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，则，即，∴点M在直线上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即.故选：A.2．直线与圆的交点个数不可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】ABD【分析】求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系即可判断作答.【详解】圆的圆心，半径，则点到直线的距离，因此直线与圆相交，它们有两个公共点，ABD不可能.故选：ABD3.已知直线：，.(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析，点的坐标为(2)或(3)【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；（3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决.【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，联立方程组，解得，所以直线过定点，点的坐标为.（2）当截距为0时，直线的方程为，即，当截距不为0时，设直线的方程为，则，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或.（3）当时，直线的方程为，符合题意；当时，直线的方程为，不符合题意；当，且时，，所以解得或，综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.4.已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是．(1)求a的值；(2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由．【答案】(1)(2)存在理由见详解.【分析】（1）利用原点到直线的距离是求解即可；（2）假设存在满足三个条件的点，然后根据三个条件联立解出即可.【详解】（1）因为原点到直线的距离是，即所以（2）若，由（1）得，所以设存在点满足题意，则：点到的距离是点到的距离的2倍有即

①点到的距离与点到的距离之比是

②

③联立①②③解的：故存在满足上述三个条件的点5.若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为．

.【答案】【分析】先求出三直线的交点坐标，再将交点坐标代入可得，然后将问题转化为原点到直线的距离，从而可求得结果.【详解】由，得，即直线的交点坐标为，因为三条直线相交于同一点，所以，所以点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离，故答案为：题型四直线综合[例4]如图，射线，所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于.（1）若，，求的值；（2）若，的面积是，求的值；（3）已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或2；（3）【解析】(1)求出,点P到直线的距离,利用勾股定理,求的值;(2)直线OA的方程为,求出到直线的距离,利用勾股定理求出,利用的面积为,求k的值;(3)设直线OA的倾斜角为,求出,,利用,可得P变化时,动点T轨迹方程,求出,即可求的取值范围.【详解】（1），，若，则，的方程为，即，则点到直线的距离为，；（2）直线OA的方程为,到直线的距离为,,的面积为,或2；（3）设,,,,,,设直线OA的倾斜角为,则，,根据题意得，解得，代入，化简得动点T轨迹方程为.,当且仅当时,取得最小值.的取值范围是.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.反思总结定点问题：(一)将直线方程化为点斜式y－y0＝k(x—x0)，则直线过定点(x0,y0)(二）含参直线方程转化为等式恒成立问题直线l恒过定点说明与参数的取值无关，求定点只需把方程整理成关于参数的式子,令参数的系数为零。(三）从特殊到一般从直线系的角度看方程,交点即为定点.所以要求定点、定值,可以先根据特殊位置找到这个定点(定值),明确了解决问题的目标﹐然后进行一般情况下的推理证明.巩固训练1.已知的顶点，，，设的外心（三边中垂线的交点）到直线的距离为，垂心（三边高的交点）到顶点的距离为，则.【答案】【分析】先利用直线关系求出中垂线及高线，从而求出的外心和垂心坐标，然后根据点到直线的距离和两点距离求解即可.【详解】因为，，所以直线的方程为，即，又的中点为，所以直线的中垂线方程为，即，同理，，所以直线的方程为，又的中点为，所以直线的中垂线方程为，联立，得，所以的外心为，则它到直线的距离为，又边的高线为，即，边的高线为，联立，得，所以的垂心为，则垂心到顶点的距离为，所以.故答案为：2．已知不同的两点关于点对称，则ab＝.【答案】【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果.【详解】由题意知，即，解得，故.故答案为：题型五圆的方程[例5]方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圆的标准方程，再转化为一般方程，从而求得.【详解】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，即，所以.故选：D反思总结求解圆的方程常用思路:一是结合平面图形的有关特点,先求圆心坐标和半径,再利用圆的标准方程写出圆的方程﹔二是充分利用待定系数法﹐先设圆的方程为一般式(或标准式),再结合题设求得参数D，E,F(或a,b,r)的值,这样就可以写出圆的方程.巩固训练1.圆关于点对称的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程.【详解】由题意可得圆的标准方程为，所以圆心为，半径为，因为点关于点的对称点为，所以所求对称圆的标准方程为，故选：D2.若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后设出圆心P的坐标为，圆心到点C的距离等于圆心到y轴的距离，列出方程求出圆心P的轨迹方程．【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，因为圆与圆关于直线对称，所以的中点满足直线方程，解得，过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为，所以解得：，故选：C．3.已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为．【答案】【分析】求出圆心和半径，即得答案.【详解】由题意可得该圆的圆心为的中点，即，半径为，故该圆的方程为，股答案为：4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为．①轨迹的方程为.②在轴上存在异于的两点，使得.③当三点不共线时，射线是的角平分线.④在上存在点，使得.以上说法正确的序号是．【答案】②③【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹的方程可判断①；设，，由两点间的距离公式结合轨迹的方程可判断②；由角平分线的定义可判断③；设，由求出点的轨迹方程与联立，可判断④.【详解】对于①，在平面直角坐标系中，，，点满足，设，则，化简得，即，所以①错误；对于②，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，设，，则，化简得，由轨迹的方程为，代入上式有，可得，，联立解得，或，（舍去），所以②正确；对于③，当，，三点不共线时，，可得射线是的角平分线，所以③正确；对于④，若在上存在点，使得，可设，则，化简得，与联立，得，解得，代入有，无实数解，则方程组无实数解，故不存在点，所以④错误．故答案为：②③．5.点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为.【答案】【分析】易知直线过定点，再由在动直线上的投影为点M，得到，进而得到的轨迹是以为直径的圆求解.【详解】解：因为直线过定点，且，所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径，所以，故答案为：.题型六直线与圆的位置关系[例6]若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）．当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为．分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，故选：A．反思总结弦长问题：但凡涉及直线与圆的位置关系时,都会遇到弦长问题,但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少。小题中大多是已知弦长求参数的值(范围)这一类的逆向思维问题,大题中往往是将弦长作为条件的综合问题,因此,弦长问题举足轻重。解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距(即圆心到直线的距离)弦长的一半及半径所构成的直角三角形中运用勾股定理进行计算。最值与范围问题：最值问题是范围问题的特例,因此,研究的方法、手段基本相同。在处理直线与圆的方程的最值与范围问题时,主要有以下两种途径:一是利用圆的几何性质直接判断,如过圆内一个定点的弦长的最值与范围问题,就可以结合图形利用弦长与弦心距之间的关系进行判断;二是构建目标函数的解析式,然后利用函数或基本不等式研究最值与范围。另外,在特定的情境中,利用“三角形两边之差小于第三边”来研究最值与范围问题可以取到意想不到的效果。巩固训练1.已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（

）A．若点，则直线的方程为 B．四边形面积的最小值为C．线段的最小值为 D．点始终在以线段为直径的圆上【答案】ABC【分析】求出以为直径的圆的方程，和相减，即可得直线的方程，判断A；求出边形面积的表达式，结合几何意义即可求得最小值，判断B；求出直线AB经过的定点，结合几何意义可求得线段的最小值，判断C；根据点和圆的位置关系的判断可判断D.【详解】对于A，点，连接，则，故在以为直径的圆上，而,则以为直径的圆的方程为，将方程和相减得，即直线的方程为，A正确；对于B，由题意知，则的面积为，而的最小值即为原点O到直线的距离，故的面积的最小值为，B正确；对于C，设，则以为直径的圆的方程为，和相减，即得直线的方程为，又，故，即，令，则，即直线过定点，设为E，则，当时，最小，最小值为，C正确；对于D，在四边形中，不一定是直角，故点不一定在以线段为直径的圆上，D错误，故选：ABC【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB所过的定点，然后利用几何意义即可求解答案.2.下列命题正确的是（

）A．若方程表示圆，则的取值范围是或B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是C．已知点在圆上，的最大值为1D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为【答案】ABD【分析】利用一般式为圆的判定公式,可判定A选项；圆与轴相切可设出圆心坐标，再根据圆与直线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，构建参数方程解决，则可判定B选项；从几何意义角度解读为圆上的点与原点连线的斜率，则可知相切时取得最值，则可判定C选项;两圆相减可得公共弦的直线方程，再通过弦长公式计算即可，则可判定D选项.【详解】若方程表示圆，则，即，解得或，故A正确；设圆心，则圆心到直线的距离为，又圆与直线直线相切可得解得，即，所以圆的标准方程是，故B正确；由可得，表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故C错误；将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，圆配方可得，继而可知圆心，，圆心到直线的距离，所以弦长为，所以公共弦长为，故D正确.故选：ABD.3.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（

）A．曲线的方程为B．曲线与圆外切C．曲线被直线截得的弦长为D．曲线上恰有三个点到直线的距离为1【答案】ACD【分析】对于A，设点，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C的半径分析判断.【详解】对于A，设，由定义，得，化简整理得，故A正确；对于B，的圆心为，半径；的圆心为，半径；圆心距，故B错误；对于C，圆心到直线的距离，所以弦长为，故C正确；对于D，圆心到直线的距离，半径，所以圆上恰有三个点到直线的距离为1,故D正确.故选：ACD.4.圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；(2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）弦AB最长时，直线l过点和圆心,可求方程；（2）根据弦长，求得圆心到直线距离，利用点到距离公式可求直线方程.【详解】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为.又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为，即.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得，圆心到直线距离为，即，解得，此时直线l的方程为，经检验k不存在时的直线也符合条件.所以直线l的方程为或.5.已知圆，直线．(1)求证：直线l恒过定点；(2)当时，求直线l被圆C截得的弦长．【答案】(1)证明详见解析(2)【分析】（1）根据直线过定点的知识证得结论成立.（2）根据点到直线的距离公式以及勾股定理求得弦长.【详解】（1）依题意直线，整理得，由解得，所以恒过定点.（2）当时，直线，圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以直线l被圆C截得的弦长为.题型七圆与圆的位置关系[例7]已知圆与圆.(1)求证：圆与圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求两个圆的圆心距结合两圆位置关系即可证明；（2）直接利用两圆方程作差即可得出公共弦方程.【详解】（1）将圆：化为标准方程为，，，圆的圆心坐标为，半径为，，，两圆相交；（2）由圆与圆，将两圆方程相减，可得，即两圆公共弦所在