薄互层油藏中阶梯式水平井生产段空间势分布及沿程压降计算模型

薄互层油藏中阶梯式水平井生产段空间势分布及沿程压降计算模型

1阶梯水平井技术楼梯水平井是指采用传统的水平井技术在钻头上连续钻孔，高度差异一定的两个或两个以上的水平段。随着勘探开发技术的发展以及钻完井工艺水平的提高,阶梯水平井技术(如图1所示)将水平井技术又推上了一个新的高度,使水平井不仅可应用于开发低渗透油气藏、底水或气顶油藏、稠油油藏,还可应用于开发薄互层油藏、断块油藏等复杂油气田,显著地增加产量,大幅度地提高勘探开发的综合经济效益。因此本文利用势叠加原理和微元线汇理论,建立了薄互层油藏中阶梯水平井生产段的势分布和沿程压降损失计算模型,并建立了生产段的流动耦合模型。2两大微元段构成不同类型油藏(包括底水油藏、边水油藏、溶解气驱油藏以及封闭边界油藏)中常规水平井势的分布已有诸多研究。多数研究者都是将水平段视为无限导流能力的裂缝或完全水平的单一生产段,而针对阶梯水平井在薄互层油藏中势分布的研究尚未见文献报道。将阶梯水平井生产段划分为三段(如图2所示):上部水平段I,下部水平段II和连接段Ⅲ,并将生产段划分为若干微元段:上部水平段I等分为N1段,下部水平段II等分为N2段,连接段Ⅲ单独一段。由于阶梯水平井钻遇的油藏较薄,因此仅考虑由于地层倾角所引起的水平段倾斜。这里做以下基本假设:(1)上部水平段和下部水平段都于所钻遇的油藏平行;(2)阶梯水平井所钻遇的薄层油藏为封闭边界油藏;(3)薄层油藏为均质、各向同性地层;(4)生产段采用裸眼完井,且连接段Ⅲ对产能没有贡献。设生产段井筒上s处轴向流量为ql(s),油藏流向井筒的径向流量为qr(s),在上部水平段I第i微元段(1≤i≤N1)上沿生产段井筒长度方向选取微元线汇ds,则该微元线汇的径向流量dqlI=qrI(s)ds。设阶梯水平井生产段上部水平段I跟端的坐标为M0(x0,y0,z0),上部油藏地层倾角为θ1,下部油藏水平井地层倾角为θ2,上部水平段与下部水平段连接段与水平方向的交角为θ3;上部水平段长度为L1,下部水平段长度为L2,上部油藏厚度为h1,下部油藏厚度为h2。则第i微元段(1≤i≤N1)上任意点坐标为xΙ=x0+(i-1)L1Ν1cosθ1+tL1Ν1cosθ1yΙ=y0zΙ=z0+(i-1)L1Ν1sinθ1+tL1Ν1sinθ1(0≤t≤1)(1)对于均质、各向同性地层,流体流动符合达西定律的单相不可压缩流体流向生产段的稳定流动规律符合Laplace方程:∂2Φ∂x2+∂2Φ∂y2+∂2Φ∂z2=0,Φ=Κμ0p(2)外边界条件:∂Φ∂z=0,(油藏上下封闭边界处)内边界条件:∂Φ∂s=Κμ0dpwf(s)ds(s为沿生产段井筒长度方向)根据势理论,上部水平段I第i微元段(1≤i≤N1)在无限大地层中任意点M(x,y,z)所产生的势为ΦΙi(x,y,z)=L1Ν1∫0-qrΙ(s)4πrΙds+C=L1Ν1∫0-qrΙ(s)4π√(xΙ-x)2+(yΙ-y)2+(zΙ-z)2⋅ds+C(3)设微元段上各微元线汇的径向流量qrI(s)相等,而不同微元段的径向流量qrI(i)不相等。又故对式(3)进行积分得到:ΦΙi(x,y,z)=-qrΙ(i)4πlnr1+r2+L1Ν1r1+r2-L1Ν1+Ci(4)其中,r1=[(x0+(i-1)L1Ν1cosθ1-x)2+(y0-y)2+(z0+(i-1)L1Ν1sinθ1-z)2]1/2r2=[(x0+iL1Ν1cosθ1-x)2+(y0-y)2+(z0+iL1Ν1sinθ1-z)2]1/2根据镜像反映原理可以将薄互层油藏和阶梯水平井上部水平段I第i段微元段镜像成为无界地层中生产井排,其z坐标分别为2nhI+zIi和2nhI-zIi(其中n=0,1,2,…;zIi为第i段微元段中点z坐标)。那么由势叠加原理可得到薄互层油藏中阶梯水平井第i段微元段在M(x,y,z)点所产生的势为ΦΙ(x,y,z)=-qrΙ(i)4π{ξΙi(zΙi,x,y,z)+ξΙi(-zΙi,x,y,z)+∞∑n=1[ξΙi(2nhΙ+zΙi,x,y,z)+ξΙi(-2nhΙ+zΙi,x,y,z)+ξΙi⋅(2nhΙ-zΙi,x,y,z)+ξΙi(-2nhΙ-zΙi,x,y,z)+2L1nΝ1hΙ]}+Ci(5)式中,ξΙi(ε1i,ε2i,x,y,z)=lnr1i+r2i+L1Ν1r1i+r2i-L1Ν1令φΙi=ξΙi(zΙi,x,y,z)+ξΙi(-zΙi,x,y,z)+∞∑n=1[ξΙi(2nhΙ+zΙi,x,y,z)+ξΙi⋅(-2nhΙ+zΙi,x,y,z)+ξΙi⋅(2nhΙ-zΙi,x,y,z)+ξΙi(-2nhΙ-zΙi,x,y,z)+2L1nΝ1hΙ]+Ci则上部水平段I在薄互层油藏中任意点M(x,y,z)所产生的势为ΦΙ(x,y,z)=Ν1∑i=1ΦΙi(x,y,z)=-14πΝ1∑i=1(qrΙ(i)φΙi)+C′(6)设供给边界处势为ФI,则由式(6)可得:ΦΙ(x,y,z)=ΦΙe-14πΝ1∑i=1[qrΙ(i)(φΙi-φΙei)](7)设供给边界处压力为pIe,阶梯水平井生产段跟端M0(x0,y0,z0)处流压为pwfI,则可得到上部水平段I沿程径向流量qrI(i)与流压pwfI(i)关系模型:[φΙ11-φΙe1φΙ12-φΙe2⋯φΙ1Ν1-φΙeΝ1φΙ21-φΙe1φΙ22-φΙe2⋯φΙ2Ν1-φΙeΝ1φΙ31-φΙe1φΙ32-φΙe2⋯φΙ3Ν1-φΙeΝ1⋮⋮⋱⋮φΙΝ11-φΙe1φΙΝ12-φΙe2⋯φΙΝ1Ν1-φΙeΝ1]⋅[qrΙ(1)qrΙ(2)qrΙ(3)⋮qrΙ(Ν1)]=ΚΙ4πμΙo[peΙ-pwfΙ(1)peΙ-pwfΙ(2)peΙ-pwfΙ(3)⋮peΙ-pwfΙ(Ν1)](8)同理可得到上部水平段II沿程径向流量qrII(i)与流压pwfII(i)关系模型:[φΙΙ11-φΙΙe1φΙΙ12-φΙΙe2⋯φΙΙ1Ν2-φΙΙeΝ2φΙΙ21-φΙΙe1φΙΙ22-φΙΙe2⋯φΙΙ2Ν2-φΙΙeΝ2φΙΙ31-φΙΙe1φΙΙ32-φΙΙe2⋯φΙΙ3Ν2-φΙΙeΝ2⋮⋮⋱⋮φΙΙΝ11-φΙΙe1φΙΙΝ1-φΙΙe2⋯φΙΙΝ2Ν2-φΙΙeΝ2]⋅[qrΙΙ(1)qrΙΙ(2)qrΙΙ(3)⋮qrΙΙ(Ν2)]=ΚΙΙ4πμΙΙo[peΙΙ-pwfΙΙ(1)peΙΙ-pwfΙΙ(2)peΙΙ-pwfΙΙ(3)⋮peΙΙ-pwfΙΙ(Ν2)](9)其中,φΙΙi=ξΙΙi(zΙΙi,x,y,z)+ξΙΙi(-zΙΙi,x,y,z)+∑n=1∞[ξΙΙi(2nhΙΙ+zΙΙi,x,y,z)+ξΙΙi⋅(-2nhΙΙ+zΙΙi,x,y,z)+ξΙi⋅(2nhΙΙ-zΙΙi,x,y,z)+ξΙΙi(-2nhΙΙ-zΙΙi,x,y,z)+2L2nΝ2hΙΙ]+Ci式中ξΙΙi(ε1i,ε2i,x,y,z)=lnr1i´+r2i´+L2Ν2r1i´+r2i´-L2Ν2r1i´=[(x0+L1cosθ1+(i-1)L2Ν2cosθ2-x)2+(y0-y)2+(ε1i-z)2]1/2r2i´=[(x0+L1cosθ1+iL2Ν2cosθ2-x)2+(y0-y)2+(ε2i-z)2]1/2式(8)与式(9)所组成包含N1+N2个方程的方程组即为阶梯水平井向井流动态关系模型。3摩擦阻力验算由于阶梯水平井所钻遇的油藏较薄,因此生产段大多采用裸眼完井,这里针对裸眼完井方式下的阶梯水平井生产段的沿程压降进行分析。以阶梯水平井上部水平段为例,在距跟端s处取微元段ΔLI,如图3所示。设油藏流向微元段的流速为Vr(s),上游流动端面的平均流速为Vl(s+ΔLI),流压为pwfI(s+ΔLI),下游平均流速为Vl(s),流压为pwfI(s),该微元段壁面摩擦阻力为τwI(s),所受到的质量力为G。根据质量守恒原理,微元段ΔLI控制体的质量守恒方程为ρVl(s+ΔLΙ)πD24-ρVl(s)πD24=-ρVr(s)ϕπDΔLΙ(10)对于裸眼完井的生产段井筒而言,油藏流体径向流入生产段井筒内的渗流面积Ar应与地层的孔隙度Φ有关,即遵循下面关系式Ar=ϕπDΔI。整理式(10)可得:ΔVΙ(s)ΔLΙ=4ϕDVr(s)(11)微元段ΔLI控制体中流体沿井筒长度方向上受到质量力、摩擦阻力、上下游端面压力以及径向入流流体的惯性力作用,根据动量守恒定理有:pwfΙ(s+ΔLΙ)πD24-pwfΙ(s)πD24-[τwΙ2(s)ϕ+τwΙ1(s)(1-ϕ)]πDΔLΙ-ρgsinθΙΔLΙπD24=Δ(mV)=ρπD24(Vl2(s)-Vl2(s+ΔLΙ))(12)式中,τwI1(s)为裸眼完井的生产段井筒管壁摩擦阻力,τwΙ1(s)=fΙ1ρVm2(s)8,fΙ1为裸眼完井的生产段井筒管壁摩擦系数,Vm(s)为该微元段流体的平均流速,Vm2=[Vl(s)+Vl(s+ΔLΙ)]2;τwI1(s);为径向流入生产段井筒的流体与轴向流体之间的摩擦阻力,τwΙ2(s)=fΙ2ρVm2(s)8,fΙ2为由于径向流入生产段井筒的流体所造成的摩擦阻力系数;将式(11)变形并代入式(12)整理得:-ΔpwfΙ(s)ΔLΙ=2ρπ2D5[fΙ2ϕ+fΙ1(1-ϕ)]⋅[2qΙ(s)-qr(s)ΔL1]2+ρgsinθΙ+16ρπ2D4qr(s)⋅[2ql(s)-qr(s)ΔL1](13)当ΔLI→0时,对式(13)求极限可以得到裸眼完井方式下阶梯水平井上部水平段的压降损失梯度模型:-dpwfΙ(s)d(s)=8ρπ2D5[fΙ1ϕ+fΙ2(1-ϕ)]⋅qΙ2(s)+ρgsinθΙ+32ρπ2D4qr(s)ql(s)(14)设上部水平段等分为N1段,每一微元段的长度ΔLI等于L1/N1,那么裸眼完井方式下阶梯水平井上部水平段压降损失计算模型为ΔpwfΙ(i)=L1Ν1{2ρπ2D5[fΙ2ϕ+fΙ1(1-ϕ)]⋅[2qΙ(i)-qr(i)L1Ν1]2+ρgsinθΙ+16ρπ2D4qr(i)⋅[2ql(i)-qr(i)L1Ν1]}(1≤i≤Ν1)(15)同理可得到下部水平段II的压降损失梯度模型以及压降损失计算模型式:-dpwfΙΙ(s)ds=8ρπ2D5[fΙΙ2ϕ+fΙΙ1(1-ϕ)]⋅qΙ2(s)+ρgsinθΙΙ+32ρπ2D4qr(s)qΙ(s)(16)ΔpwfΙΙ(i)=L2Ν2{2ρπ2D5[fΙΙ2ϕ+fΙΙ1(1-ϕ)]⋅[2qΙ(i)-qr(i)L2Ν2]2+ρgsinθΙΙ+16ρπ2D4qr(i)⋅[2ql(i)-qr(i)L2Ν2]}(1≤i≤Ν2)(17)对于上部水平段I和下部水平段Ⅱ的连接段Ⅲ(如图4所示)仅考虑该段的沿程压降损失,忽略油藏径向流入井筒的流量。沿井筒长度方向上受到如图4所示的质量力、壁面摩擦阻力、上下游端面的压力。设该段长度为ΔL3,倾角为θ3,壁面摩擦阻力为τwIII,上游端面的流速为下部水平段Ⅱ跟端流速VII(1),压力为pwfII(1),下游端面的流速为上部水平段I指端流速VI(N1),压力为pwfI(N1)。根据动量守恒定律,沿连接段Ⅲ井筒长度方向有:pwfΙΙ(1)πD24-pwfΙ(Ν1)πD24-τwΙΙΙπDΔLΙΙΙ-ρgsinθ3LΙΙΙπD24=ρπD24⋅{[VΙΙ(Ν1)cos(θ3-θ1)]2-[VΙΙΙ(1)cos(θ3-θ2)]2}(18)整理上式即可得到连接段Ⅲ的压降损失计算模型:ΔpwfΙΙΙ=8fΙΙΙρLΙΙΙπ2D5qΙΙΙ2(1)+ρgsinθ3LΙΙΙ+16ρqΙΙΙ2(1)π2D4[cos2(θ3-θ1)-cos2(θ3-θ2)](19)式(15)、式(17)及式(19)即为裸眼完井方式下阶梯水平井生产段沿程压降损失计算模型。4u3000数学模型对于常规水平井,生产段的流动为油藏渗流与井筒变质量管流的耦合流动,因此阶梯水平井生产段的流动模型应该同时考虑油藏渗流和井筒变质量管流的相互作用。设上部水平段Ⅰ第i段井筒单位长度的径向流入量为qrI(i),中点处流压为pwfI(i);下部水平段II第i段井筒单位长度的径向流入量为qrII(i),中点处流压为pwfII(i);连接段Ⅲ产生的压降损失为ΔpwfIII。那么将式(8)和式(9)合并可以得到阶梯水平井生产段渗流模型:Aq=B(20)式中,q=[qrΙ(1),qrΙ(2),⋯‚qrΙ(Ν1)‚qrΙΙ(1)‚qrΙΙ(2)‚⋯‚qrΙΙ(Ν2)]ΤA=[AΙAΙΙ]AΙ=[φΙ11-φΙe1⋯φΙ1Ν1-φΙeΝ10⋯0φΙ21-φΙe1⋯φΙ2Ν1-φΙeΝ10⋯0⋮⋱⋮⋮⋱⋮φΙΝ11-φΙe1⋯φΙΝ1Ν1-φΙeΝ1000]AΙΙ=[0⋯0φΙΙ11-φΙΙe1⋯φΙΙ1Ν1-φΙΙeΝ10⋯0φΙΙ21-φΙΙe1⋯φΙΙ2Ν1-φΙΙeΝ1⋮⋱⋮⋮⋱⋮0⋯0φΙΙΝ11-φΙΙe1⋯φΙΙΝ1Ν1-φΙΙeΝ1]B=[BΙBΙΙ]=[λΙ[peΙ-pwfΙ(1)]⋮λΙ[peΙ-pwfΙ(Ν1)]λΙΙ[peΙΙ-pwfΙΙ(1)]⋮λΙΙ[peΙΙ-pwfΙΙ(Ν2)]]‚λΙ=ΚΙ4πμΙo,λΙΙ=ΚΙΙ4πμΙΙo阶梯水平井生产段井筒沿程流量符合关系式为qlΙΙ(j)=∑k=jΝ2qrΙΙ(k);qΙ(i)=qlΙΙ(1)+∑k=1Ν1qrΙ(k)(1≤i≤Ν1‚1≤j≤Ν2)(21)阶梯水平井生产段井筒沿程流压符合关系式为上部水平段I:qwfΙ(i)=qwfΙ(i-1)+0.5(ΔpwfΙ(i-1)+ΔpwfΙ(i))(2≤i≤Ν1+1)(22)其中,pwfI(1)=pwf+0.5(ΔpwfI(1)),pwf为生产段跟端流压;ΔpwfI(N1+1)=0。连接段Ⅲ:pwfΙΙΙ=pwfΙ(Ν1+1)+0.5ΔpwfΙΙΙ(23)下部水平段Ⅱ:pwfΙΙ(j)=pwfΙΙ(j-1)+0.5(ΔpwfΙΙ(j-1)+ΔpwfΙΙ(j))(2≤j≤Ν2+1)(24)其中,pwfΙΙ(1)=pwfΙΙΙ+0.5(ΔpwfΙΙ(1)+ΔpwfΙΙΙ);ΔpwfΙΙ(Ν2+1)=0将式(15)、式(17)及式(19)分别代入式(22)、式(23)及式(24)可以得到未知量为qrI(i)、qrII(j)、pwfI(i)和pwfII(j)(1≤i≤N1,1≤j≤N2)、含有N1+N2个方程的方程组:F[qrΙ(i),qrΙΙ(j),pwfΙ(i),pwfΙΙ(j)]=0(25)式(20)和式(25)共有2(N1+N2)个方程,2(N1+N2)未知量即为裸眼完井方式下阶梯水平井生产段流动耦合模型。由于所建立的阶梯水平井生产段流动耦合模型为复杂的非线性方程组,而且随着微元段数N1+N2的增加,非线性程度愈加严重,所以无法直接求解。而且方程组解法的收敛性即方程组是否存在解很大程度上取决于未知量初值的选取。针对这种情况,采用迭代法求解由式(20)和式(25)所构建的生产段流动耦合模型,即先给定pwfI(i)和pwfII(j)(1≤i≤N1,1≤j≤N2)的初值,采用式(20)计算(1≤i≤N1,1≤j≤N2