高考数学一轮总复习课件第4章数列第3讲等比数列及其前n项和（含解析）

第三讲等比数列及其前n

项和课标要求考情分析1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系1.本讲主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点.2.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.属于中低档题1.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示.2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项3.等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，则G叫做a与b的等比中项.公式为an＝a1·qn－1.

4.等比数列的常用性质(4)已知等比数列{an}，①若首项a1>0，公比q>1或首项a1<0，公比0<q<1，则数列{an}单调递增；②若首项a1>0，公比0<q<1或首项a1<0，公比q>1，则数列{an}单调递减；③若公比q＝1，则数列{an}为常数列；④若公比q<0，则数列{an}为摆动数列.

5.等比数列的前n项和公式

(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn. (2)前n项和公式：6.等比数列前n项和的性质若q≠－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍是等比数列.【名师点睛】(1)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1

与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.(2)等比数列{an}中任何一项an≠0.题组一走出误区1.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，下列数)列中一定是等比数列的有(答案：AB题组二走进教材2.(教材改编题)设等比数列的前n项、前2n项、前3n)项的和分别为A，B，C，则( A.A＋B＝C

B.B2＝AC

C.(A＋B)－C＝B2

D.A2＋B2＝A(B＋C)

答案：D

3.(教材改编题)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.

答案：1248

题组三真题展现

4.(2021年全国甲)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(

)A.7B.8C.9D.10答案：A答案：B

考点一等比数列基本量的运算1.(2021年晋城模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于(

)A.5C.3B.4D.2解析：因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，q2＝4，因为数列是正项等比数列，所以q＝2.故选D.答案：D2.(2021年五华月考)已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，a2a4＝64，a1＋a3＝10，Sn＝126，则n＝(

)A.4C.6B.5D.7答案：C【题后反思】等比数列基本量的求法

等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用.

特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.考点二等比数列的判定及应用定义法非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列【题后反思】等比数列的四种常用判定方法【变式训练】答案：AD

考点三等比数列性质的应用A.1B.2C.4D.8答案：C

(2)(2021年长春质检)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.

解析：根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比数列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S3＝10，或S3＝90(舍).答案：10【题后反思】等比数列常见性质的应用(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.【变式训练】A.8C.32B.16D.64答案：B⊙等比数列的实际应用

[例3](2021年衡阳模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？()答案：D

【反思感悟】以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等.

【高分训练】

1.(2021年荆州一模)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为()答案：B

2.一个病毒研究所为了更好地研究某种病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第