2023高考数学新题分类汇编平面向量(高考真题+模拟新题)

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大纲文数7.F1[2023·四川卷]如图1－2，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→

＝()

图1－2

A．0B.BE→

C.AD→

D.CF→

大纲文数7.F1[2023·四川卷]D【解析】BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→－BC→＝BF→－BC→＝CF→

，所以选D.

大纲理数4.F1

图1－1

[2023·四川卷]如图1－1，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→

＝()

A．0B.BE→

C.AD→

D.CF→

大纲理数4.F1[2023·四川卷]D【解析】BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→－BC→＝BF→－BC→＝CF→

，所以选D.

课标理数10.F2[2023·北京卷]已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________.

课标理数10.F2[2023·北京卷]1【解析】由于a－2b＝(3，3)，由a－2b与c共线，有k3＝3

3，可得k＝1.

课标文数11.F2[2023·北京卷]已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________________________________________________________________________.

课标文数11.F2[2023·北京卷]1【解析】由于a－2b＝(3，3)，由a－2b与c共线，有k3＝3

3，可得k＝1.

课标文数3.F2[2023·广东卷]已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()

A.14

B.1

2

C．1

D．2课标文数3.F2[2023·广东卷]B【解析】由于a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又由于(a＋λb)∥c，

所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝1

2

.

课标文数13.F2[2023·湖南卷]设向量a，b满意|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．

课标文数13.F2[2023·湖南卷](－4，－2)【解析】由于a与b的方向相反，依据共线向量定义有：a＝λb(λ2，C选项错误；对于D：

若C、D同时在线段AB的延长线上，则λ>1，μ>1?

1

λ＋1

μ

2，∴只能一个点在线段AB上，另一个点在线

段AB的延长线上．

课标理数14.F2[2023·天津卷]已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，

BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→

|的最小值为________．

课标理数14.F2[2023·天津卷]5【解析】建立如图1－6所示的坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．

设P(0，y)，(0≤y≤h)则PA→＝(2，－y)，PB→

＝(1，h－y)，

∴||

PA→＋3PB

→＝25＋3h－4y2≥25＝5.

图1－7

课标文数14.F2[2023·天津卷]已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，

BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→

|的最小值为________．

课标文数14.F2[2023·天津卷]5【解析】建立如图1－6所示的坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．设P(0，y)，(0≤y≤h)

则PA→＝(2，－y)，PB→＝(1，h－y)，∴|PA→＋3PB→|＝25＋3h－4y2

≥25＝5.

图1－6

课标理数14.F2[2023·浙江卷]若平面对量α，β满意|α|＝1，|β|≤1，且以向量

α，β为邻边的平行四边形的面积为1

2

，则α与β的夹角θ的取值范围是________．

课标理数14.F2[2023·浙江卷]??

????π6

，5π6

【解析】由题意得：||α||βsinθ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sinθ＝12||β≥1

2

.

又∵θ∈(0，π)，∴θ∈??????π6

，5π6.

课标文数15.F2[2023·浙江卷]若平面对量α，β满意|α|＝1，|β|≤1，且以向量

α，β为邻边的平行四边形的面积为1

2

，则α和β的夹角θ的取值范围是________．

课标文数15.F2[2023·浙江卷]??????π6

，5π6【解析】由题意得，|α||β|sinθ＝12，

∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈??????π6

，5π6.

课标文数14.F3[2023·安徽卷]已知向量a，b满意(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

课标文数14.F3[2023·安徽卷]【答案】π

3

【解析】设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2

＝－7＋

2cosθ＝－6，所以cosθ＝12.由于0≤θ≤π，故θ＝π

3

.

课标理数13.F3[2023·安徽卷]已知向量a，b满意(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

课标理数13.F3[2023·安徽卷]π

3

【解析】设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋

2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2

＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12

.由于0≤θ≤π，故θ

＝π3.

大纲文数3.F3[2023·全国卷]设向量a，b满意|a|＝|b|＝1，a·b＝－1

2

，则|a＋2b|

＝()

A.2

B.3

C.5

D.7

大纲文数3.F3[2023·全国卷]B【解析】||a＋2b2＝(a＋2b)2＝||a2

＋4a·b＋4||b2

＝3，则||a＋2b＝3，故选B.

课标理数8.E5，F3[2023·福建卷]已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为

平面区域????

?

x＋y≥2，x≤1，

y≤2

上的一个动点，则OA→·OM→

的取值范围是()

A．[－1,0]

B．[0,1]

C．[0,2]

D．[－1,2]

课标理数8.E5，F3[2023·福建卷]C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，

又OA→·OM→

＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线，

图1－2

当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.

∴z的取值范围是[0,2]，即OA→·OM→

的取值范围是[0,2]，故选C.

课标文数13.F3[2023·福建卷]若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b等于________．课标文数13.F3[2023·福建卷]1【解析】由已知a＝(1,1)，b＝(－1,2)，得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.

课标理数3.F3[2023·广东卷]若向量a，b，c满意a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0

课标理数3.F3[2023·广东卷]D【解析】由于a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.

课标文数2.F3[2023·湖北卷]若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()

A．－π4B.π6C.π4D.3π4

课标文数2.F3[2023·湖北卷]C【解析】由于2a＋b＝2，4＋1，－1＝3，3，a－b＝0，3，所以||2a＋b＝32，||a－b＝3.设2a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝2a＋b·a－b||2a＋b||a－b＝3，3·0，332×3

＝22，又θ∈0，π，所以θ＝π4.

课标理数14.F3[2023·湖南卷]在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→

，则AD→·BE→

＝________.

课标理数14.F3[2023·湖南卷]－1

4【解析】由题知，D为BC中点，E为CE三等分

点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A??

?

??0，

32，D(0,0)，B?

??

??－1

2

，0，E?????13，36，故AD→＝??

???0，－32，BE→＝???

??56，36，所以AD→·BE→

＝－32×36＝－14

.

课标理数11.F3[2023·江西卷]已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．

课标理数11.F3[2023·江西卷]【答案】π

3

【解析】设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)(a－b)＝－2得

|a|2＋a·b－2|b|2

＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，

解得cosθ＝12，∴θ＝π

3

.

课标文数11.F3[2023·江西卷]已知两个单位向量e1，e2的夹角为π

3

，若向量b1＝e1

－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.

课标文数11.F3[2023·江西卷]－6【解析】由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝1

2

，

所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e2

2＝3－2×12

－8＝－6.

课标理数10.F3[2023·课标全国卷]已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

p1：|a＋b|＞1?θ∈?

?????0，2π3；

p2：|a＋b|＞1?θ∈?

???

?2π3，π

p3：|a－b|＞1?θ∈??????0，π3；

p4：|a－b|＞1?θ∈???

??π3，π.其中的真命题是()

A．p1，p4

B．p1，p3

C．p2，p3

D．p2，p4

课标理数10.F3[2023·课标全国卷]A【解析】由于||a＋b>1?||a2

＋2a·b＋||

b2

>1?a·b>－12

?||a||bcosθ＝cosθ>－12?θ∈?

?????0，2π3，所以p1为真命题，p2为假命题．

又由于||a－b>1?||a2－2a·b＋||b2

>1?a·b<12?||a||bcosθ＝cosθ<12

?θ∈

???

??π3，π，所以p4为真命题，p3为假命题．

课标理数10.F3[2023·辽宁卷]若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()

A.2－1B．1C.2D．2

课标理数10.F3[2023·辽宁卷]B【解析】|a＋b－c|＝a＋b－c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，由于a·b＝0，所以上式＝3－2c·a＋b，又由

于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2

＝1，所以|a＋b－c|＝3－2c·a＋b≤1，故选B.

课标文数3.F3[2023·辽宁卷]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()

A．－12

B．－6

C．6

D．12

课标文数3.F3[2023·辽宁卷]D【解析】a·(2a－b)＝2a2

－a·b＝0，即10－(k－2)＝0，所以k＝12，故选D.

课标文数13.F3[2023·课标全国卷]已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

课标文数13.F3[2023·课标全国卷]1【解析】由题意，得(a＋b)·(ka－b)＝k||a2－a·b＋ka·b－||b2

＝k＋(k－1)a·b－1

＝(k－1)(1＋a·b)＝0，

由于a与b不共线，所以a·b≠－1，所以k－1＝0，解得k＝1.

课标理数18.F3，C8[2023·陕西卷]叙述并证明余弦定理．

课标理数18.F3，C8[2023·陕西卷]【解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2＝

b2＋

c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

证法一：如图1－9，

图1－9

a2＝BC→·BC→

＝(AC→－AB→)·(AC→－AB→)＝AC→2－2AC→·AB→＋AB→2＝AC→2－2|AC→|·|AB→|cosA＋AB→2＝b2－2bccosA＋c2

，

即a2＝b2＋c2

－2bccosA.

同理可证b2＝c2＋a2

－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

证法二：已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1－10)，

图1－10

则C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，∴a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA)2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2

－2bccosA.

同理可证b2＝c2＋a2

－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

课标文数18.F3，C8[2023·陕西卷]叙述并证明余弦定理．

课标文数18.F3，C8[2023·陕西卷]【解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．

或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2＝

b2＋

c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

证法一：如图1－10，

图1－10

a2＝BC→·BC→

＝(AC→－AB→)·(AC→－AB→)＝AC→2－2AC→·AB→＋AB→2＝AC→2－2|AC→|·|AB→|cosA＋AB→2＝b2－2bccosA＋c2

即a2＝b2＋c2

－2bccosA，

同理可证b2＝c2＋a2

－2cacosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

证法二：已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直

线为x轴建立直角坐标系，则C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，

图1－11

∴a2

＝|BC|2

＝(bcosA－c)2

＋(bsinA)2

＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2

－2bccosA.

同理可证b2＝c2＋a2

－2cacosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

课标数学10.F3[2023·江苏卷]已知e1，e2是夹角为2π

3

的两个单位向量，a＝e1－2e2，

b＝ke1＋e2,若a·b＝0，则实数k的值为________．

课标数学10.F3[2023·江苏卷]54

【解析】由于a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke2

1＋

(1－2k)(e1·e2)－2e2

2，

且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以2k－12－2＝0，即k＝5

4

.

大纲理数12.F3[2023·重庆卷]已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝________.

大纲理数12.F3[2023·重庆卷]3【解析】|2e1－e2|2＝4e21－4e1·e2＋e2

2

＝4|e1|2－4|e1||e2|·cos60°＋|e2|2

＝4×12

－4×1×1×12＋12＝3，

∴|2e1－e2|＝3.

大纲文数5.F3[2023·重庆卷]已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()

A．1

B．2

C．3

D．4

大纲文数5.F3[2023·重庆卷]D【解析】由条件知a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，

∴3×k－1×(k＋2)＝0，得k＝1，∴a·b＝1×2＋1×2＝4.故选D.

大纲理数12.F4[2023·全国卷]设向量a，b，c满意|a|＝|b|＝1，a·b＝－1

2

，〈a－c，b

－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()

A．2B.3C.2D．1

大纲理数12.F4[2023·全国卷]A【解析】设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB