(完整word版)2023年天津市高考数学试卷(文科)

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合{1A=-，1，2，3，5}，{2B=，3，4}，{|13}CxRx=∈>的两条

渐近线分别交于点A和点B，且||4||(ABOFO=为原点），则双曲线的离心率为()

A2

B3

C．2

D5

7．已知函数sin(0fxAxAω?=+>，0ω>，||)?π??g

剟若关于x的方程14fxxaaR=-+∈恰有两个互异的实数

解，则a的取值范围为()

A．5[4，9]4

B．5(4，9]4

C．5(4，9]{1}4U

D．5[4

，9]{1}4U

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．i是虚数单位，则5||1i

i

-+的值为．

10．设xR∈，使不等式2320xx+-，0y>，24xy+=，则

(1)(21)

xyxy

++的最小值为．

14．在四边形ABCD中，//ADBC，23AB=，5AD=，30A∠=?，点E在线段CB的延

长线上，且AEBE=，则BDAE=uuuruuur

g．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）2023年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教育、连续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．

（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受状况如表，其中“〇”表示享受，“?”表示不享受．现从这6人中随机

A

B

CD

E

F

子女教育〇〇?

〇?

〇连续教育??〇?

〇〇大病医疗?

?

?〇?

?

住房贷款利息〇〇?

?〇〇住房租金?

?

〇???

赡养老人

〇〇?

?

?

〇

i试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；

(ii)设M为大事“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求大事M发生的概率．

16．（13分）在ABC?中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bca+=，3sin4sincBaC=．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）求sin(2

)6

Bπ

+的值．

17．（13分）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD为平行四边形，PCD?为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PACD⊥，2CD=，3AD=．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：//GH平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；

（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

18．（13分）设{}na是等差数列，{}nb是等比数列，公比大于0．已知113ab==，23ba=，3243ba=+．

（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}nc满意,

21,,

nnncbn??

=????为奇数为偶数求*112222nnacacacnN++?+∈．

19．（14分）设椭圆22

221(0)xyabab

+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知

3|2||(OAOBO=为原点）．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点F且斜率为

3

4

的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且//OCAP．求椭圆的方程．

20．（14分）设函数(1)xfxlnxaxe=--，其中aR∈．（Ⅰ）若0a…，争论fx的单调性；

（Ⅱ）若1

0ae

，证明0132xx->．

2023年天津市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合{1A=-，1，2，3，5}，{2B=，3，4}，{|13}CxRx=∈=，33log8log92b=>的两条

渐近线分别交于点A和点B，且||4||(ABOFO=为原点），则双曲线的离心率为()

ABC．2D

【思路分析】推导出(1,0)F，准线l的方程为1x=-，2||b

ABa

=，||1OF=，从而2ba=，

进而

c==，由此能求出双曲线的离心率．【解析】：Q抛物线24yx=的焦点为F，准线为l．(1,0)F∴，准线l的方程为1x=-，

lQ与双曲线22

221(0,0)xyabab

-=>>的两条渐近线分别交于点A和点B，

且||4||(ABOFO=为原点），

2||bABa∴=，||1OF=，∴24ba

=，2ba∴=，

c∴==，

∴双曲线的离心率为c

ea

=

故选：D．

【归纳与总结】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础学问，考查运算求解力量，考查化归与转化思想，是中档题．

7．已知函数sin(0fxAxAω?=+>，0ω>，||)?π??g

剟若关于x的方程14fxxaaR=-+∈恰有两个互异的实数

解，则a的取值范围为()

A．5[4，9]4

B．5(4，9]4

C．5(4，9

]{1}4U

D．5[4

，9

]{1}4U

【思路分析】分别作出yfx=和1

4

yx=-的图象，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两

个交点，直线与1

yx

=在1x>相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．

【解析】：作出函数2,01,1,1xxfxxx

??

=?>??g剟的图象，

以及直线1

4

yx=-的图象，

关于x的方程1

4fxxaaR=-+∈恰有两个互异的实数解，

即为yfx=和1

4yxa=-+的图象有两个交点，

平移直线1

4

yx=-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，

有两个交点，可得94a=或5

4a=，

考虑直线与1yx=在1x>相切，可得21

14

axx-=，

由△210a=-=，解得1(1a=-舍去），

综上可得a的范围是5[4

，9

]{1}4U．故选：D．

【归纳与总结】本题考查分段函数的运用，留意运用函数的图象和平移变换，考查分类争论思想方法和数形结合思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．i是虚数单位，则5||1i

i

-+的值为13．

【思路分析】本题可依据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解析】：由题意，可知：

2

2

5(5)(1)56231(1)(1)1iiiiiiiiii-++===-++--，5|||23|1i

ii-∴=-=+．故答案为：

【归纳与总结】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．

10．设xR∈，使不等式2320xx+-，0y>，24xy+=，则(1)(21)xyxy++的最小值为9

2．

【思路分析】利用基本不等式求最值．

【解析】：0x>，0y>，24xy+=，则(1)(21)2212552xyxyxyxyxyxyxyxy++++++===+

；0x>，0y>，24xy+=，

由基本不等式有：4222xyxy=+…

，02xy∴．由题意可得：332qd=+①；23154qd=+②解得：3d=，3q=，

故33(1)3nann=+-=，1333nnb-=?=（Ⅱ）数列{}nc满意,

21,,nnncbn??

=???为奇数为偶数，

*112222nnacacacnN++?+∈

135212142632nnnaaaaabababab-=+++?+++++?+

23(1)

[36](6312318363)2

nnnnn-=+?+?+?+?+?+?

2236(13233)nnn=+?+?+?+?

令2(13233)nnTn=?+?+?+?①，则231313233nnTn+=?+?+?+②，

②-①得：2

3

1

233333n

nnTn+=?-+1

133313nnn+-=-?+-1(21)332

nn+-+=

；故222

*112222(21)369362

nnnnnnacacacnTnN+-++++?+=+=∈

【归纳与总结】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n项和的求解，考查数列求和的基

本方法分组和错位相减法的运算求解力量，属中档题．

19．（14分）设椭圆22

221(0)xyabab

+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知

3|2||(OAOBO=为原点）．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点F且斜率为

3

4

的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且//OCAP．求椭圆的方程．

【思路分析】

2b=，再由离心率公式可得所求值；

（Ⅱ）求得2ac=

，b=，

可得椭圆方程为2222143xycc+=，设直线FP的方程为34

yxc=+，联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切

的条件，解方程可得2c=，即可得到所求椭圆方程．【解析】：

|2||OAOB=

2b=，

可得12

cea==；

（Ⅱ）b=

，1

2

ca=，即2ac=

，b=，可得椭圆方程为2222143xycc+=，设直线FP的方程为3

4

yxc=+，

代入椭圆方程可得2276130xcxc+-=，解得xc=或137c

x=-，

代入直线PF方程可得32

cy=或914c

y=-（舍去），可得3(,)2cPc，

圆心C在直线4x=上，且//OCAP，可设(4,)Ct，

可得3242ct

cc

=+，解得2t=，即有(4,2)C，可得圆的半径为2，

由直线FP和圆C相切的条件为dr=，

2=，解得2c=，

可得4a=

，b=22

11612

xy+=．

【归纳与总结】本题考查椭圆的方程和性质，留意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：dr=，考查化简运算力量，属于中档题．20．（14分）设函数(1)xfxlnxaxe=--，其中aR∈．（Ⅰ）若0a?，争论fx的单调性；

（Ⅱ）若1

0ae

，证明0132xx->．

【思路分析】211[(1)]xxx

axeIfxaeaxexx

-'=-+-=，(0,)x∈+∞．0a?时，0fx'>，

即可得出函数fx在(0,)x∈+∞上单调性．

IIi由I可知：21xaxefxx-'=

，(0,)x∈+∞．令21xgxaxe=-，1

0ae时，1lnxx（1）0=．可得函数fx在0(x，)+∞上

存在唯一零点1．

ii由题意可得：00fx'=，10fx=，即0

20

1xaxe=，111(1)xlnxax