圆的标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性

多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.

2.4.1圆的标准方程2.4圆的方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.生活中的圆或圆的一部分在直线方程的学习中，我们都研究了哪些问题？

直线

直线方程

利用直线方程，研究位置关系、距离等问题

平面直角坐标系代数运算

类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？

圆

圆的方程

利用圆的方程，研究与圆有关的位置关系、几何度量等问题

平面直角坐标系代数运算直线的方程是如何建立的呢？

直线的方程是如何建立的呢？

直线的几何要素（点，方向）

几何关系直线方程的点斜式……坐标化在平面直角坐标系中，那么如何确定一个圆呢？定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)圆心动点半径因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径。大小位置当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程。

如图，在直角坐标系中，圆心A的位置用坐标A(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)

的距离．|AM|=r则圆上动点M的集合P={M||AM|=r}把上式两边平方得：由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了,圆就唯一确定了.设⊙A的圆心A的坐标为A(a,b)表示,半径为r,如何求⊙A的方程呢？你能写出⊙A上动点M满足的关系式吗？方程（1）一定表示⊙A的方程吗？若圆心为O（0，0）半径为r的圆的方程是什么？②若点M(x,y)坐标满足方程（1）,

这时，我们把方程（1）称为圆心为A（a，b），半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standardequationofcircle）.即点M在圆心为A,半径为

r的圆上.这就说明点M与圆心A的距离为r.通过上述探究过程，可知

①若M(x,y)在圆上，则点M的坐标满足方程追问:方程，，是圆方程吗？思考:方程与表示的曲线分别是什么？方程

一定表示圆心在原点的圆吗？圆的标准方程有哪些特点？（1）关于x，y的二元二次方程；（2）方程明确给出了圆心的坐标和半径的大小；即给出了三个a、b、r三个量。圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程为：(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.例1(x＋5)2＋(y＋3)2＝25(2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是________________.(x－1)2＋(y－2)2＝25

求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；跟踪训练1圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.直接法求出下列圆的方程

分析:根据点的坐标与圆的方程的关系,只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程,就可以得到这个点是否在圆上.

例1、求圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上.

把点的坐标代入方程解:所求的圆的标准方程是左右两边相等，点的坐标适合方程所以点在这个圆上.把点的坐标代入方程左右两边不相等，点的坐标不适合方程不在这个圆上.所以点知识总结：点与圆的位置关系位置关系形——距离数——方程点在圆外d

r(x0－a)2＋(y0－b)2

r2点在圆上d

r(x0－a)2＋(y0－b)2

r2点在圆内d

r(x0－a)2＋(y0－b)2

r2圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，>>＝＝<<(1)已知a，b是方程x2－x－

＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是A.点P在圆C内

B.点P在圆C外C.点P在圆C上

D.无法确定√(2)已知点P(2，1)和圆C：

＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝____________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_______________.－2或－6a<－6或a>－2(3)已知点M

在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________.[0，1)跟踪训练2待定系数法与几何法求圆的标准方程例2

△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．只要确定了a、b、r，圆的标准方程就确定了。解法一：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上待定系数法解法一：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为例2

△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.你能找出其他办法吗？△ABC的外接圆的圆心就是△ABC的外心。△ABC的外心是三边垂直平分线的交点。解法二：利用几何性质l2l1因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB的中点的坐标为(6,-1)，直线AB的斜率因此线段AB的垂直平分线l1的方程是：即：所以，圆心为C的圆的标准方程是：因为B(7,-3)和C(2,-8)，所以线段BC的中点的坐标为(4.5,-5.5)，直线BC的斜率因此线段BC的垂直平分线l2的方程是：即：△ABC的外接圆的圆心O的坐标是方程组的解解得：即O(2,-3)圆O的半径长：反思感悟(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程.(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果.充分体现数学运算的数学核心素养.例3：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l:x–y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。法一：设圆的方程为，则1)2)a-b+1=03)由1）2）3）联立可解：a=-3,b=-2,r=5所以圆的标准方程为：待定系数法Oxy.A.BCl法二：利用圆的性质数形结合法Oxy.A.BCLAB的中垂线与直线l的交点即为圆心例3：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l:x–y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。法二:反思感悟(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标