一种基于偏微分方程的图像放大方法

一种基于偏微分方程的图像放大方法

0pde算法自数字图像出现以来，数字图像的放大技术已经开发出来。这是一种用来改变图像原始大小、实现所需视觉效果的方法。理论上，图像放大问题本质上是图像插值问题。当前常用的图像插值方法是北平重复插值法、双线插值法、三个采样单元和三个b采样条法。这些方法简单易用，但也存在一些不足现象，如赛马和斑点。随着科技的发展,显示技术的提高,人们对于图像质量的要求越来越高,常规的插值法图像放大技术已不能满足人们的需要,为了获得更高质量的放大图像,人们一直在探索新的方法来处理图像放大问题.近来,基于偏微分方程(PDE)的图像分析与处理已成为图像处理领域一个引起广泛关注的热点课题,用PDE来进行图像放大的理论依据在文中得到了严格的证明,该文针对图像插值(放大)的特点,提出了图像插值处理中所需满足的八条公理,并在连续情形下进行了严格的数学推导、计算,证明了这类插值问题应由形为G(D2u(Du|Du|‚Du|Du|)‚D2u(Du|Du|‚Du⊥|Du|)‚D2u(Du⊥|Du|)‚Du⊥|Du|)=0的PDE之粘性解(完全非线性PDE的一类广义解)来刻划,并根据计算的实际需要,说明了图像插值问题由以上方程对应的抛物型PDE来处理较合适.PDE方法用于图像放大处理的效果也在近期的一些文章中得到了实验的证明.文均提出了用PDE进行图像放大的方法,并用实验证明了这种处理确实达到了极好的图像放大效果,其结果优于常规插值方法及现有的常规图像处理软件的放大效果.但是,目前这些PDE方法也存在不足的地方,以文为例,我们记原图像为v,对图像横向、纵向均放大整数k倍,放大后的图像为u(x,t)(x=(x1,x2)∈Ω⊂R2,t≥0),Ω为放大后图像所占区域.文采用了很复杂的非线性PDE∂u∂t=D2u(Du⊥|Du|‚Du⊥|Du|)+g(|Du|)D2u(Du|Du|‚Du|Du|)-(Ρu-Ρu0)用于图像放大,其中u(x,0)=u0为采用常规的插值方法把原图像v横向、纵向均放大整数k倍后的所得图像.函数g称边缘停止(edge-stopping)函数,满足0≤g≤1且在图像光滑区域g=1,在图像边缘部分g=0.算子P作用到函数上的计算为:Ρu(x1‚x2‚t)=∑x1‚x2∏Ωx1,x2k-2∫Ωx1,x2u(y,t)dy,其中Ωx1,x2为包含点(x1,x2)的大小为k2的区域,∏Ωx1,x2为Ωx1,x2的特征函数.我们可以看到,就实际计算来说,Pu的计算相当复杂,整个PDE由于其非线性特点,其计算量是非常大的,不适合实际应用;另一方面,这一基于PDE的图像放大方法采用的是先对原始图像进行常规的插值方法放大,然后再利用非线性PDE进行处理,处理的目的之一就是使得图像边缘保持清晰.然而,众所周知,常规的插值方法放大后的图像会有虚假边缘出现,而PDE处理图像的主要特点是以最大的可能保持初始图像边缘的前提下进行图像处理,因此,这样的方法实际上是把常规的插值方法放大后的图像的边缘作为图像真正的边缘来处理,从而将这些虚假的边缘都完全保留了下来,这显然是不合理的.针对以上所述图像放大方法中的缺陷以及PDE用于图像插值的理论,我们提出了基于一类新的PDE的图像放大方法.在本文中,我们将利用图像放大的特殊性并综合三次样条插值放大保边缘的优点,对原图像先提取边缘,将这一边缘图像实施三次样条插值放大,并用阈值进行适当修改,得到较精确的放大后图像的边缘信息,再利用此较精确的边缘信息,结合中的理论,构造合适的PDE用于图像放大处理,同时把原图像进行线性插值放大的图像作为PDE处理的初始图像.在处理的过程中,注意到的理论,利用边缘停止算子,使边缘部分和图像非边缘区域采用不同的处理方法,在图像非边缘区域进行适度的磨光处理,而在边缘区域图像只沿梯度的垂直方向(边缘方向)进行合适的扩散,于是得到一类新的PDE的图像放大模型.我们的PDE模型既保留了常规的插值放大方法中的优点,又用了新的方法来克服其中所存在的缺陷,实验证明,这是一种很有效的图像放大方法.1基于pde的图像放大方法1.1图像的温度放灰度图像数据是二维平面上的灰度值,可用二元函数v(i,j)(i=1,2,…,m0,j=1,2,…,n0)来表示,其中m0,n0分别为图像的行数和列数.我们可以将这种图像数据v(x,y)看作是平面物体的温度分布,当图像的横向、纵向分别放大正整数k1,k2倍时,记放大后图像所占有的平面区域为Ω={(x,y)|12＜x＜k1(m0-1)+32‚12＜y＜k2(n0-1)+32}.放大后的图像数据同样可以看作是横向、纵向分别放大k1,k2倍后的平面物体的温度分布u(x,y)(x=1,2,…,k1(m0-1)+1,y=1,2,…k2(n0-1)+1).我们记S={(k1(i-1)+1,k2(j-1)+1)i=1,2,…,m0,j=1,2,…,n0}.根据图像放大要求,放大后图像在S上的点(k1(i-1)+1,k2(j-1)+1)∈S的像素值应与原图像的(i,j)点上的像素值保持相近或一致,即u(k1(i-1)+1,k2(j-1)+1)≈v(i,j)(i=1,2,…,m0,j=1,2,…,n0).(1.1)为了确定放大后图像的像素值,注意到线性插值法放大图像较接近图像真实情况,我们首先对原图像作双线性插值,得到定义在ˉΩ上的函数u0(x,y).由前面所述,我们可引入时间参数t,设t时刻对应于ˉΩ中的点(x,y)处物体的温度(像素值)为u(x,y,t).同时注意到采用的非线性PDE图像放大模型∂u∂t=D2u(Du⊥|Du|‚Du⊥|Du|)+g(|Du|)D2u(Du|Du|‚Du|Du|)-(Ρu-Ρu0)‚(1.2)其中Du=(ux,uy),Du⊥=(uy,-ux),D2u(a‚a)=aΤD2ua=[a1a2][uxxuxyuyxuyy][a1a2]=a21uxx+2a1a2uxy+a22uyy‚g(s)=11+(sλ)2.其放大原理是:在放大图像的非边缘区域,Du较小,因而g(|Du|)≈1,从而方程接近各向同性的热传导方程,成为各向同性的扩散;在边缘处有g(|Du|)≈0,方程成为沿边缘方向的扩散方程,限制了与边缘垂直方向的扩散,从而实现放大图像有较清晰边缘.从以上模型中可以看出,Du主要起到边缘判别作用,但在处理过程中,u(x,y,t)还不是我们需要的最终放大图像,其边缘也不是放大图像真正的边缘,因此,这样的边缘判别是不合理的.为此,我们考虑原图像的边缘,将其记作I0(x,y),其像素值取0或1,不妨设I0在边缘部分值为1,在非边缘部分值为0.我们注意到三次样条有非常好的边缘保持效果,因此,我们对这一二值图像采用三次样条插值,对实施插值以后的边缘图像利用阈值进行修正,比如89以上的取为1,否则取0,从而得到新的二值图像,记作I(x,y).根据三次样条放大有良好的边缘保持性质,这一二值图像I(x,y)是原图像放大后图像的较为清确的边缘,将其用于非线性PDE模型(1.2)中的边缘识别分量,得到下面新的基于PDE的图像放大模型:∂u∂t=D2u(DΙ⊥|DΙ|‚DΙ⊥|DΙ|)+g(|DΙ|)D2u(DΙ|DΙ|‚DΙ|DΙ|)+β(u0-u).其中β(x,y)={0‚(x,y)∈Ω¯\Sn‚n2‚(x,y)∈Sn.g(x)={1‚0≤s≤13‚单调光滑‚13＜s＜23‚0‚s≥23.这里n为一充分大的一正参数,Sn={(x,y)|dist((x,y),S)＜1n},由PDE知识,这样定义的函数β在一定的条件下可确保(1.1)式成立,也简化了(1.2).但以上PDE在非边缘区域出现分母为0的情况,不宜进行理论分析及数值计算,为此我们引入一个小正数ε∈(0‚110),将方程修改为∂u∂t=D2u((DΙ)ε⊥|(DΙ)ε|‚(DΙ)ε⊥|(DΙ)ε|)+g(|DΙ|)D2u((DΙ)ε|(DΙ)ε|‚(DΙ)ε|(DΙ)ε|)+β(u0-u)‚(1.3)其中(DI)ε={Ix+ε,Iy+ε},在非边缘区域,(DI)ε={ε,ε},g(|DI|)=1,因此,方程的前二项实为各向同性的扩散Δu,方程(1.3)实际上就是∂u∂t=Δu+β(u0-u),即对图像进行平滑处理,符合模型的设计要求;在边缘处,函数g=0,由于ε充分小,因此(DI)ε≈DI,对计算结果没有太大影响,方程(1.3)变为∂u∂t=D2u(DΙ⊥|DΙ|‚DΙ⊥|DΙ|)+β(u0-u),即仅沿边缘方向扩散,而函数I如前所述为较精确的边缘,从而这样的处理很好地起到了保护真正边缘的作用.由图像处理的实际情况,可以给出边界条件:∂u(x,y,t)∂n=0‚(x,y)∈∂Ω,t≥0.(1.4)根据前面所述,我们可以取初始的图像为u(x,y,0)=u0(x,y),(x,y)∈Ω¯.(1.5)于是我们可以得到定解问题(1.3)、(1.4)、(1.5).1.2算法1.2.1有i,yj,tkb.pb3,5.2.2e,1,2,5,5,5,5,5,5,5,4.2.3,5,5,5,5,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5.由PDE知识,线性PDE(1.3)在初始条件(1.5)及边界条件(1.4)之下,其解是存在且唯一的,且具有较好的正则性.由图像放大特点及热传导原理,长时间的热传导过程又反而会造成热量平衡,图像也会因此显得模糊,达不到好的放大效果,因此,我们只要进行很短时间的扩散即可达到理想的处理效果.正由于时间短,用隐式差分格式反而计算量大,处理速度慢,效果不好,也不利于实际应用,因此,我们只需采用简单的显式差分格式来进行求解,这样更有利于模型的实现,做到既快又好.我们记ui,j为放大后的图像在像素点xi=ih,yi=jh的灰度值,其中h为空间步长,通常取为1,i=1,2,…,k1(m0-1)+1,j=1,2,…,k2(n0-1)+1.又记u(xi,yj,tk),u0(xi,yj),β(xi,yj),I(xi,yj),g(|DI(xi,yj)|)分别为ui,jk,u0,i,j,βi,j,Ii,j,gi,j,其中tk=kΔt,k=1,2,…,而Δt为时间步长.关于时间的导数∂u∂t在(hi,hj,tk)点处的值可以用向前差分格式来近似:ut≈ui,jk+1-ui,jkΔt.(1.6)而扩散项的近似为(uxx)i,jk=ui+1‚jk-2ui,jk+ui-1,jkh2‚(uyy)i,jk=ui,j+1k-2ui,jk+ui,j-1kh2‚(uxy)i,jk=ui+1,j+1k-ui+1,j-1k-ui-1,j+1k+ui-1,j-1k4h2‚(uyx)i,jk=(uxy)i,jk,(Ιx)i,j=Ιi+1,j-Ιi,jh‚(Ιy)i,j=Ιi,j+1-Ιi,jh‚((|DΙ|)i,j)2=((Ιx)i,j)2+((Ιy)i,j)2‚g(|DΙ(xi,yj)|)=g(((Ιx)i,j)2+((Ιy)i,j)2.即(1.3)的离散计算格式为ui,jk+1-ui,jkΔt=((Ιi,j+1-Ιi,j+ε)2+gi,j(Ιi+1,j-Ιi,j+ε)2h4(ui+1,jk-2ui,jk+ui-1,jk)+(Ιi+1,j-Ιi,j+ε)2+gi,j(Ιi,j+1-Ιi,j+ε)2h4(ui,j+1k-2ui,jk+ui,j-1k)+(gi,j-1)(Ιi+1,j-Ιi,j+ε)(Ιi,j+1-Ιi,j+ε)2h4(ui+1,j+1k-ui+1,j-1k-ui-1,j+1k+ui-1,j-1k)1(Ιi,j+1-Ιi,j+ε)2+(Ιi+1,j-Ιi,j+ε)2+βi,j(u0,i,j-ui,jk).(1.7)若记具体的算法步骤是:(1)对原图像进行线性插值放大相应倍数得到初始图像u0,并对其离散化得ui,j0=u0,i,j.(2)对原图像提取边缘用样条插值放大相应倍数得到图像I0,再用适当的阈值对图像I0进行修正,从而得到放大图像的边缘二值图像I.(3)选取合适的参数,用(1.8)式算出ai,j,bi,j,ci,j,再反复用(1.9)进行迭代计算ui,jk,k≥1,直至得到满意的图像.2双线性插值放我们在PentiumⅣ2G的计算机上用Matlab7.0软件实现了该算法,并验证了该方法的可行性.在实验中,以一幅256×256bit的图像Lena.bmp为例(图1),为说明本文方法的效果,对Lena图像的部分(第一部分:左上角顶点为(100,100),右下角顶点为(140,140)和第二部分:左