信号与系统微分算子方程

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1微分算子和积分算子p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。系统的微分算子方程例：以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则

性质1

性质2微分算子的运算性质微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。也不能由方程通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)

性质3

例如，方程

性质4设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式但是2LTI系统的微分算子方程

对于LTIn阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为用微分算子P表示可写成或缩写为微分算子方程传输算子

传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t)

对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。

用H(p)表示的系统输入输出模型

例1：设某连续系统的传输算子为写出系统的输入输出微分方程例2：已知系统框图，求系统的传输算子。

解设中间变量x(t)，左端加法器列方程右端加法器电路系统算子方程的建立表2.2电路元件的算子模型

在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的电流或电压为系统响应。3：零输入响应算子方程

设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且系统的特征多项式y(t)和f(t)满足的算子方程为

yx(t)满足的算子方程为系统的特征方程：简单系统的零输入响应简单系统1

若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt简单系统2若A(p)=(p-λ)2，则yx(t)=(c0+c1t)eλt。

例某系统输入输出微分算子方程为

已知系统的初始条件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。

解

由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2其一阶和二阶导函数为

令

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