1.6微积分基本定理

§1.6

微积分基本定理第一章导数及其应用学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)梳理

(1)微积分基本定理①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且

；F′(x)＝f(x)F(b)－F(a)F(b)－F(a)(2)常见的原函数与被积函数关系知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案

当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等.梳理设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则S上－S下S上－S下01.若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一.(

)2.微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.(

)3.应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.(

)[思考辨析判断正误]×√√题型探究类型一求定积分命题角度1求简单函数的定积分例1计算下列定积分.解答＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.解答＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1)＝ln2－3sin2＋3sin1.解答(3)解答解

∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，＝反思与感悟

(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x).(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).解答跟踪训练1计算下列定积分.＝解答＝sinx＝1.(2)解解答解答命题角度2求分段函数的定积分解答反思与感悟分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算.(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算.解析答案2e－2＝－e0＋e1＋e1－e0＝2e－2.解答类型二利用定积分求参数解析答案3解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.解析答案解答引申探究解答反思与感悟

(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.解析答案[0,2)∴f(x)的值域为[0,2).解析答案＝达标检测12345解析答案解得a＝2.A.5 B.4 C.3 D.2√2.等于12345解析答案√12345解析答案√解析

∵f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2，∴f(x)＝x2＋2x，则f(－x)＝x2－2x，答案解析12345＝解答12345取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；取F2(x)＝sinx，则F2′(x)＝cosx.所以＝(2x2－2πx)

＋sinx

123451.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的