第27讲导数中的数列不等式放缩问题

第27讲导数中的数列不等式放缩问题【考点分析】由函数不等式化为数列不等式的方法取：则：取：则：题型一：指对数不等式化为数列不等式【精选例题】【例1】建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，故，当且仅当时等号成立，A选项：时不等式左右两端相等，故错误；B选项：将中的替换为，可得，当且仅当时等号成立，令，可得，所以，故，其中，所以，B正确；C选项：将中的替换为，显然，则，故，当时，，故成立；当时，显然成立，故正确；选项：将中的替换为，其中，且，则，则，故，则，又，D错误.故选：BC．【例2】已知函数，其中(1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围；(2)证明：，其中．【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1）解：由函数的图象恒不在轴上方，且，即恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为．（2）解：由（1）知，当时，，即，当且仅当时取等号，令，可得，所以，即当时，．【例3】已知函数.(1)若在上单调递增，求的值；(2)证明：（且）.【答案】(1)1；(2)证明见解析.【详解】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件；当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值，于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1.（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，因此当且时，，而当时，，所以，则，所以，.【例4】已知函数.(1)是的导函数，求的最小值；(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）【答案】(1)0；(2)证明见解析.【详解】（1）由题意，，，，令，解得，又时，时，，所以在上单调递减，在单调递增，，即的最小值为0.（2）证明：由（1）得，，可知，当且仅当时等号成立，令，则.，即，也即，所以，故对任意正整数，都有.【例5】已知函数（）．(1)当时，试确定函数在其定义域内的单调性；(2)求函数在上的最小值；(3)试证明：（；）．【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）当时，定义域为，求导得，当时，，当时，，即在上递减，在递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2），，求导得，当时，恒成立，即函数在上单调递减，因此；当时，由，得，当，即时，，函数在上单调递减，因此；当，即时，由，得，由，得，即函数在上单调递减，在上单调递增，因此，所以当时，，当时，.（3）由（1）知，当时，在处取得最小值，即，于是，，令，则有，因此，即，所以．【例6】已知函数.(1)求的极值；(2)对任意的，求证：.【答案】(1)极小值，无极大值；(2)证明见解析【详解】（1）因为，则，当时，，时，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，无极大值.（2）由（1）知在上单调递增，故时，即：，令得，化简得：，于是有：，，，累加得：即【例7】已知函数．(1)证明：；(2)证明：，．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】（1）证明：，令恒成立，解得，当时，解得，当，解得，此时在上单调递减，在上单调递增；所以在取得最小值，，恒成立，即成立．（2）证明：由（1）可知，在上单调递增，且，所以在恒成立，即，，当时，令，则，，所以，所以，，……，，所以，即，.得证．【例8】已知函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1），可得.令，其中，则.①当时，，合乎题意；②当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以，，所以，不恒成立，不合乎题意；③当时，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，可得，解得.综上所述，实数的取值范围是；（2）当时，，所以.由（1）知：，即，所以.令，得，即，所以.当时，，则，显然，结论成立；当时，，结论成立.因此，当时，成立.【跟踪训练】1.利用“”可得到许多与n（且）有关的结论①，②，③，④，则结论正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，，故，当且仅当时，等号成立，对于①，令，所以，故，其中，所以，故①正确；对于②，将中的替换为，可得，，当且仅当时等号成立，令，可得，所以，故，其中，所以，故②正确；对于③，将中的替换为，显然，则，故，故，故③错误；对于④，将中的替换为，其中，，则，则，故，当且仅当时，等号成立，则，故④正确.故选：C2.已知函数．（1）若在，上恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：．【解析】解：（1）的定义域为，．①当时，，若，则，在上是减函数，所以时，（1），即在，上不恒成立．②当时，，当时，，在，上是增函数，又（1），所以．综上所述，所求的取值范围是，．（2）由（1）知当时，在，上恒成立．取得，所以．令，，得，即，所以，上式中，2，3，，，然后个不等式相加，得到：．3.已知.(1)证明：；(2)证明：时，.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】（1）由题意知，的定义域为，，令，解得：令，解得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以.（2）由（1）知，当且仅当时等号成立，所以，，，…，，所以.4.已知函数，.(1)若存在极值，求的取值范围；(2)若，求的值；(3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)3【详解】（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，此时在上单调递增，无极值；当时，令得，时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，此时有极小值为，无极大值.综上所述，若存在极值，则的取值范围是.（2），由（1）可知，当时，恒成立，此时在上单调递增，与恒成立矛盾；当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，所以，则需，若，则，符合题意；若，则，不合题意舍去；若，则，不合题意舍去.综上所述，.（3）由（2）可知当时，即，所以恒成立，当且仅当时取等号，所以，，一方面，，即，另一方面，，从而当时，，因为为正整数，且对于任意正整数，恒成立，故的最小值为3.5.已知函数，且.(1)求实数的取值范围；(2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值；(3)证明：.【答案】(1)；(2)2；(3)证明见解析【详解】（1）法一：在上恒成立在上恒成立设，①当时，恒成立在上单调递增，且时，不符合题意，舍去，②当时，令，则；令，则.在上单调递减，在上单调递增.设，令，则；令，则.在上单调递增，在上单调递减，即当时，的取值范围是：.法二：在上恒成立，是上最小值，也是极小值，即，当时，令，则；令，则，在上单调递减，在上单调递增即，满足：在上恒成立，（2）由（1）知，，即在上恒成立（当且仅当时取等）令，则.即又且的最小值为2.（3）不等式在上恒成立（当且仅当时取等）令，则，即.令，则，即故.6.设函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)证明：当时，恒成立；(3)证明：当且时，．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析【详解】（1）因为定义域为，又，故，故切线方程为，即.（2）令，，则当时，，单调递增，故，即当时，，即当时，恒成立；（3）由（2）可知当时，恒成立，且当且仅当时，所以当时，恒成立，令，且，得，即，由此可得，，，……，将以上个式子相加得，且.7.已知函数(1)判断函数的零点个数；(2)证明：当时，证明：【答案】(1)2个；(2)证明见解析【详解】（1）函数，定义域为，，，设，则，则在上单调递减，即在上单调递减，当时，，此时单调递增，，故函数无零点.下证：当时，，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，也即，故，当时，单调递减，，，所以存在唯一的，使得函数在上单调递增，在上单调递减，，所以在上存在一个零点.综上：函数恰有两个零点.（2）由（1）可知，在上恒成立，于是可得，其中，以上各式左右相加得，，所以.8.已知函数．（1）求函数的极值；（2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数的最大值；（ⅱ）证明：．【解析】解：（1），，当时，，函数在上单调递增，没有极值；当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数的极小值，没有极大值；（2）当时，恒成立，即只要即可，由（1）时，在上单调递减，在上单调递增，（a）若即时，在上单调递增，满足题意；（b）当即时，在上单调递减，在上单调递增，，令，则，所以在上单调递减，且（2），（3），（4），所以存在使得，则的解集为，综上的取值范围，其中，所以正整数的最大值3；证明：两边取对数得，即只要证，由知，令，则，，所以．题型二：三角函数不等式化为数列不等式【精选例题】【例1】已知函数，.(1)证明：当时，；(2)若，求a的取值范围；(3)证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析【详解】（1），记，，故单调递增，又，单调递增，所以，即.（2），，若时，，则存在区间，使得单调递增，故必有，即，验证：当时，.由（1）可知，，即在上单调递增，满足题意，综上，.（3）由（2）可知，当，时，，取，则①，.②，，综上.【例2】已知函数.(1)若，求实数的值；(2)已知且，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1）由，得.令，则.注意到，所以是函数的极小值点，则，所以，得.当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，满足条件，故.（2）由（1）可得，.令，则，所以，即.令，则，且不恒为零，所以函数在上单调递增，故，则，所以，令分别取，累加得：.即证.【例3】已知函数.(1)求的极值；(2)求证：.【答案】(1)的极大值为，没有极小值；(2)证明见解析【详解】（1）因为函数，所以，设，，所以在，所以当时，；当时，.又因为对恒成立，所以当时，；当时，.即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，没有极小值.（2）由（1）可知，所以当且仅当，取“＝”.由（1）得，累加得；由②得，累加得.综上所述，.【跟踪训练】1.已知函数，.(1)当时，，求实数的取值范围；(2)已知，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1）解：令，则，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，所以，，即，所以，当时，，即，当时，取，由于，而，得，故，不合乎题意.综上所述，.（2）证明：当时，由（1）可得，则，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则，所以，，，所以，.2.已知函数．(1)证明：对恒成立；(2)是否存