24创新题型-原卷版

第24讲创新题型知识与方法创新是高考试题永恒的主题,在新一轮高考改革中,高考数学试卷围绕着数学学科的本质,突出理性思维,科学考察数学学科必备知识、关键能力与学科素养,体现学科的核心价值,强调数学与生活以及其他学科的联系,渗透数学文化.从几年的高考数学时间卷中不难发现,试题的创新力度达到了空前的高度,考查创新能力的新题型不断涌现,这类题型有的体现数学文化,有的紧密联系实际,还有一类通过定义新概念,深人考查学生对新知识的理解能力,以及对所学数学知识的迁移能力,具有良好的区分效果,这也是今后高考数学试题的热点方向之一.典型例题【例1】设是满足下列条件的函数构成的集合:方程有实数根;②函数的导数满足.（1）若函数为集合中的任意一个元素,证明:方程只有一个实根;（2）判断函数是否是集合中的元素,并说明理由;（3）设函数为集合中的元素,对于定义域中任意,当时,证明：.【例2】定义:函数的导函数为,函数的导函数为,我们称函数称为函数的二阶导函数.已知.（1）求函数的二阶导函数;（2）已知定义在上的函数满足:对任意恒成立.为曲线上的任意一点.求证:除点外,曲线上每一点都在点处切线的上方;（3）试给出一个实数的值,使得曲线与曲线有且仅有一条公切线,并证明你的结论.【例3】已知函数,若,则对封闭.（1）若区间对封闭,求的取值范围;（2）设,若区间对封闭,证明：(i)当时,在区间单调递增；(ii)【例4】设为函数图像上相异两点,且点的横坐标互为倒数,过点分别做函数的切线,若这两条切线存在交点,则称这个交点为函数的“优点”.（1）若函数不存在“优点”,求实数的值;（2）求函数的“优点”的横坐标的取值范围;（3）证明:函数的“优点”一定落在第一象限.强化训练1.已知二次函数和.（1）证明:当时,无论为何值,函数在定义域内不可能总为增函数;（2）在同一函数图象上取任意两个不同的点,线段的中点,记直线的斜率为若满足,则称其为“函数”.判断函数与是否为“函数”?并证明你的结论.2.已知函数,其中（1）若函数在其定义域上不是单调函数,求实数的取值范围;（2）如果函数在公共定义域上满足,那么就称为的“底下函数”.证明:当时,为的“底下函数”.3.已知函数（1）若的最大值为0,求的值;（2）若函数满足:集合中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数是等比源函数.在（1）条件下,判断是否为等比源函数,并证明你的结论;（3）已知数列满足,是否,使得方程无解,若不存在,请给予证明;若存在,请求出.4.定义ρ(x,(1)设a>0,函数f(x(2)设0<a<b,函数F(3)记(2)中的最小值为T(a,b)5.已知函数f((1)当a=12时,求f(2)如果函数g(x),f1(x),f已知函数f1(x)=a−12x6.若对任意的实数k,b,函数y=f((1)判断函数f((2)若函数f(x)=(3)若函数f(x)=7.若函数f(x)在x∈[a,b]时,函数值y的取值区间恰为kb,ka,(k>0)(1)求g((2)求g(x)(3)若g(x)在定义域内存在“k8.记f'(x),g'(x)分