备战2023年重庆市新高考数学大题限时练专题04含解析

Page7专题04大题限时练四1．的内角，，的对边分别为，，，已知为锐角，且．（1）求；（2）若，点满足，当的面积最大时，求和的值．【答案】（1）；（2），【详解】（1）依题意．由正弦定理得，，，，由于，所以，依题意是锐角，即，，，为锐角，且，所以，，；（2）依题意得，，，，当且仅当时取等号，此时三角形是等腰三角形，，由于，所以，，在三角形中，由余弦定理有，．2．在正项等比数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）设公比为，由题，解得或（舍，所以；（Ⅱ）因为，所以令，则所以，令，，则，，则，作差可得：，所以，所以．3．如图1，矩形中，，，为上一点且．现将沿着折起，使得，得到的图形如图2．（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】证明：四边形为矩形，，且，，即；，即；又，，，又，，，平面，平面，平面，；，，，平面，平面．解：过作，交于，，，，，由知平面，平面，平面平面，又，平面，平面，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，0，，，3，，，0，，，1，，，，，，，，由平面的一个法向量为，0，，设平面的一个法向量为，，，则，令，，，，，，，．二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．4．近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：（1）若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？（2）计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，，试探求：（Ⅰ）的通项公式；（Ⅱ）的通项公式．【答案】见解析【详解】（1）由题意每名同学在每次专注度监测中完成签到的概率为0.9，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量，由二项分布的特征可得服从二项分布，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量，利用与的关系可得，分．（2）（Ⅰ）依题意，，，，又，为等比数列，，（Ⅱ）由题意可得：，，，，将上面的这个式子相加可得：，．5．已知曲线由和两部分组成，所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，，右焦点为，与轴相交于点，四边形的面积为．（1）求，的值；（2）若直线与相交于，两点，，点在上，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）2【详解】（1）由题意知；（2）设，，，，①当斜率存在时，设直线的方程为，，△，且或，，计算可得，故原点到直线的距离，当时，即时取等号，故原点到直线的距离的最大值为1，则点到直线的距离，故，面积最大值2；②当斜率不存在时，，，此时．综上：面积的最大值为2．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）【详解】（1）由题意得，的定义域为，，当时，，函数在上单调递增，当时，令，解得，时，，函数在上单调递减，时，，函数在上单调递增，综上所述，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意得，求导得，设，求导可得，当时，，函数在上单调递增，函数至多有一个极值点，不合题意，当时，令，解得，时，，函数在上单调递增，，时，，函数在，上单调递减，所以函数在处取得极大值，也是最大值，为，因为函数有