4线性规划问题的影子价格研究报告解析

可修编-可修编-usd.usd.1引言12文献综述12.1国外研究现状12.2国外研究现状评价22.3提出冋題23枝术系数与约東右端顶不发生改变33.1线性观划原问题与对偶问题及其11质33.2具体应用53.3影子价怡的晞定94技术系数与约束右端顶发生改变94.1具体应用94.2影子价怡的确定125结论125.1主要发现125.2启示和意义135.3局HEft145.4努力方向14参考文献151引言线性规划是数学与运筹学的一彳、分支，是运筹学中最基本的也是最常用的一种方法，也是现代管理中应用最为广泛的一种数学模塑•在线性规则的实际解题过程中，会出现技术系数与约束右端顶有最大公约数的悄乱，在it算过程巾就可将其约去，但迪样的简单计算是否会对线性规划冋题产生影哨呢•本文借助线性规则原冋题与对«ro的性质，通过实例，对枝术系数与约東右端顶改变前后ann算对比，指岀它『i的改变会影响影子价格.2文献综述2.1国外研究现状在所查阅的国外参考文St[1-17]中,有不少的文章论述到线性规则中的影子价格,并对挪子价18的各方面窗有所研究•如白云在文傲⑵、⑶中对互为对偶的两个线性观则问题，基解的不对称性产生的芹暦对影子价陷进行确定，并讨论了在原线性规则问题有名个最优解悄猊下影子价格的廿算方袪;夏少刚，费威在文献⑷中对线性观划冋題中目标函数系数、约東右端顶及系数矩阵同时变化做了灵敏度分析；王龙在文献⑸中闸述了影子价招的涌及应用；马赞甫、31在文献⑹中介绍的影子价恪的特征员其廿算；马赞甫在文献⑺中it对线性规朋对flro«优解的非单一性，皿子价格与会廿价格之同的区别、影子价松机会成本定义的区别、组合影子价怡与单一影子价怡的区别三个方面辭释可修编・可修编・中影子价格的“非唯一性”;吴汉洪、徐国兴在文献［8］中论证了册子价格定文的统一性，说明其经济学含义；任立民在文献［9］中将影子价格理论应用在资源利用、投资决策方面；林志红在文献［10］中解释了影子价恪的经济学恿义，并分桥其在资源配置中的关建作用，为解决实际问题起到一定的作用;JKRSI在文«［11］中将彫子价18应用在企业经济分tfi中；董绍嫌在文献［12］中等探讨了一些关于影子价tsait应用的不正确提法,提出影子价榴的新涌；吴纯洁在文fit［13］中合彫子价格对偶线性规则问题进行讨论；段德则在文St［14］中将影子价招应用在产品生产决策中；王松林在文献［15］中等基于对偶线性规划模塑对影子水价进行it算等等.2.2国外研究现状评价荷兰经济学家詹恩•「阳根在本世纪30年代末首次提岀影子价招，并运用线性现则的数学方法进行计算，指出影子价格是反映社会资源获得最佳配置的一种价恪•前联经济学家康托浴绒奇根根据当时联经济发展状猊和商晶合理廿价的要求，提出了最优价怡理论.二者提岀的容基本是相同的，但前者的理论被人们看成一种经济管理方法，后者是作为一种价招形成理论•国主要是对影子价怡的定义、特征、廿算及其应用等进行研究，并说明在经济领域影子价怡在产晶生产决策中的运用.2.3提岀问题对于线性範划问题：n^xz=Xj-lnDijXj=勺(i=l,…川)S.t.\7=1xj-0 (7=1,.../?)存在这样的悄形：maxz=£中j・lX5aijjn。 (j=1,…刀)jn。 (j=1,…刀);=1工2工2勺内；=i可将其转化为：maxz=£屮显然，两f线性规划问题中的技术系数呦和约東右端顶$已经发生了变化，于是就有如下冋题:(1)当技术系数“和约束右发生变化时，对原线性规则问题有无影晌？结果如何？(2)在上述的变化和给果下,对影子价恪Q有何影晌？3技术系数与约束右端项不发生改变3.1线性规划原问題与对偶冋題及其性质假定原问题及对偶问题为对称形式线ttSfiJ问题，即原问题为:flmaxz=》c^jnDiE<bt—1,…冲)S.t.\j=\其对例间题为:minvv=^hiyir-l・m,工sx二勺G=i,…申）s.t.<yi>0 （/=I,.../??）原冋题与对偶冋HIS系紧密，相关参数部有重要的实际意义:原冋題可看作现有资源约束条件下的最优生产it划间S,切（山1,...,加）为第Z种资源的限制量；ci,j（i=1,...,Ifnj=1,...,“）为生产第丿种产晶对第,种资源的消耗系数；Cj（j=1,...,/?）为第/种产品的单也利网；厂（丿=1，•••，〃）为第丿•种产晶的产量•对偶间题可看作资源被最优利用时的影子价招问题，其中最优解X（1QG”）为第，种资源的影子（H8.线性规划问题具有以下性质：①基可行解（可行域枚点）有有限个；②若有最优解,一定可在基可行解中找到（称之为基最优辭或最优基解）；③任恿两个最优解的廿组合仍是最优解；④互为对偶的线性規划问題当冃仅当一个有量优解时，另一个也有最优齡,tffl®优解对应的目标函数值相等.单纯形法是求解线性規划最方便有效的方法，而目通过求解一彳、冋題，同时得到互为对偶的两个歩性範划问题的解•在利用单纯形法求解时，对干有不等艮约東的问題，需引人松弛变量将约東条件化为等式，对于目标函数极小化问题，可将目标函数樣大化,取S，-S将目标函数变为求S，18大值，必须将所有线性规则间题都化为等式约東、目标极大化、自变量非负的如下标准形式:max乙=exAx=hs.t.<x>0对标准形式的线性规则问题，单纯形法求解的判定方法是，若基B同时满足：可修编・可修编・可修编-可修编-VB^b>o（基B的可行性条件）.2，CkB~xA-C>Q（对偶可行性条件，不等式左端称为基3的检验数）,»]Bfi定基3为最优基，对应基解（假设基变量排在前面）为原冋題的最优解，对应对偶基解冷）虫阿为对偶问題的最优解.当线性规则原问题求得最优辭x；G=l,..j）时，其对偶问體也得到最优解/（/=1 m）,且代入各自目标函数后有n ni/=£勺兀；=£$y；=w‘（1）j-i /-]①喷源的市场价恪是其价值的客观体现，相对比较稳定，而它的影子价怡则有頼干资源的利用悄乱,是未知数•因企业生产任务、产品结构等发生变化，资澹的影子价IS也協之改变•②影子价怡是一种边际价怡，在武⑴中对Z求®的偏导数得牛二y：卫说明％cbi的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，仇毎熠加一个单也时目标函数Z的增量.③资源的影子价格实际上Q是一种机会成本.在完全市场经济条件下，当资源的市场价格低于影子价怡时，可以买进这种资温；相反，当市场价陷高于影子价榴时，就会卖出迪种资源.1®着资源的买进卖出，它的影子价怡也砸之发生变化，一貞到影子价招与市场价胳保持在同等水平时，才处于平衡状态.3.2具体应用fl1某公司itMM造I、II两种家电产品•已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序WFO毎天可用于这两种家电的能力、各售岀一件时的获利悄猊，如表1所示.问该公司应制造这两种家电乡少件，是获取的利网最大.顶目1II毎天可用能力设备A（h）0515设备B(h)6224调试工序（h）115利®1(元)21解：用变量“和心分别表示美佳公司制造家电I和II的数量，菽公司可获取的利if）为（2“+吃）元，令z=（2州+x2）,因冋題中要求获取的利网为最大，即maxz.因此，数学模型可表为:maxz=2兀］+x25x2<156“+2七524h}x(+x2<5X|,七no用单纯形法求解上述冋题,先稱其化为标准形式有:maxz=2x,+x2+OxA+0x4+Ox55x2+x3=156比+2x、+x4=24s.t.< -xt+x2+x5=5A|,x2,x3,x4,x5>0其约束条件系数矩阵的贈广拒阵为P\P24dP、b_0510015'6201024110015 .P“4,4是单位矩阵，构成一个基，对应变量是基变量•令非基变量站，七等于零,即找到一个初始基可行解

X=(0,0,15,24,5)'以此列岀单纯形表，见表2.表2210000x0x4240心5[6]201011001210002X)40x5l°X3T05100210002X)40x5l°X3T05100o4!olo4°001---4 2100---4 2010---42ooo44ooo44q基“x}x2x3x4x50心1505100由单纯睨解加讪基可行解珂舒和。为最优解，代入目标函数得问题（3）的对偶冋题为:minw=15yt+24y2+5y3+0y4+Oy5+儿—儿=2 （4）s.t.<5y}+2y2+y3-y5=1>0（/=l,...5）将两个冋题的量终单纯形表分别表出,见表3,表4.表3顶目原问！8变量原冋題松弛变量“勺心X4心00155 15V3T1——4 27c1 1X]—10242313A\—0 ・24201Z厂-Cj00oil42nil间题的剰余变量nn问题变量变量儿儿X1『2>'3表4顶目对偶间题变量对偶间题剰余变量>'1儿儿儿>'51511V7---10…44441儿22132~2J-5—0027322变 ■原间题松弛变量原间题变量x3x4x5坷兀23.3影子价格的簡定由原问题与对偶问题的最终单纯形表2和3知，资源设备A的影子价能）迂0,设备B的影子价能乃=扌，调试工序的影子价招儿=£•设备A的影子价恪为0说明增加设备A的工作时同不会增加总产值，理由是，设备A的松弛变量勺=擘，表示此种资源还有7.5个单位的剰余，因此，增加资源设备A的工2作时长不会带来任何经济利益,只会增加更多的剰余.设备B的影子价恪为i,«设备B的工作时间増加一个单位时，最优值也会增加0.25个4单『服'=8二4如果设备A、B都没有变化，而调试工序的时同塔JM—个单位，从影子fH8y3=|可知总产值的増加量为;，总产值也就增加0.5个单位，Hlz=9.24技术系数与约束右端项发生改变4.1具休应用对于上述实例，问题（2）的技术系数习约東右常顶经11变化后为：maxz=2兀]+x2x2<33x.+ <12z、s.t.< 1 - （5）xf+x2<5A],x2>0其标准形式为:

maxz=2xt+x2+Ox3+0x4+Oxs3X]+x.+x4=12s.t.< -X)+x2+x5=5xi,x2,xi,x4.xs>0列岀单纯形表5,®T：表521000G基b X]尤2兀3表521000G基b X]尤2兀3X4*50x33011000x412[3]10100x5511001210000x332x}40x5l011001-0-03 3。一卜1勺|0-0--03 3001---2 2100---2 2010---22C厂5C厂5 000—丄一丄'>22可修编・可修编・由单纯形法解得问题的基可行解x为最优辭，代人目标函数得(222丿c7 3 。1=2x—+—=8—.222可以看到，与技术系数约東右端顶未改变之前相比,IO的基可行解有所改变，但函数的最优值仍为z=2xZ+|=81,没有影响.222问题(6)的对偶问趣为：minw=3”+12y2+5儿+0儿+0)?53儿+儿一儿=2 ⑺>'|+儿+儿_比i丿沦0(,=1,…5)两个间题的最终单纯形表分别表岀，见表6,表7.表6顶目原问！8变量原冋題松弛变量山心心入心3V*00A321— —2 27C1 1X]_100 2223c13A\—・22201Z厂00oil22变量对偶roma余变量对偶问题变量九)‘5X1儿儿可修编-可修编-可修编・可修编・顶目对偶间题变量对偶冋題剰余变量>'1比儿儿儿1--10211＞，22221y3-…2-01132223cc73Cj—Zj-00jJ222变量原间8L松弛变量原间題变量-V3x4x5E兀24.2影子价格的确定由原问题与对偶问题的最终单纯形表6和7知，资源设备A的影子价格y产0,设备B的影子价恪y2=|,iBI试工序的影子价格y3=|-厶 乙设备A的影子价怡为0说明增加设备A的工作时间不会增加总产值，理由是，设备A的松弛变量X3=|,表示此种资甌有1.5个单位的剰余，这与朗性S问體的技术乙系数与约束右端顶未改变时有所不同，但是，这只代表此种资源还有剰余，而增加资源设备A的工作时长不会带来任何经济利益，只会增加更多的剌余.设备B的影子价招为1,«设备B的工作时间増加一个单位时，最优值也会增UUO.5个2单E,R|lz=9,与原线性规则问题的枝术系数与约東右端顶未改变时，zFUU了丄.4如果设备A、B都没有变化，而调试工序的时间贈刚一个单位，从影子价1§>'3=|可知总产值的增加量为；，总产值也就增加0.5个单位，z=9,段有影响.25结抡5.1主要发现由实例的it算結果对比可以看岀，技术系数、约東右端顶改变后对线性规期冋题有以下几点影晌:对最优解的影晌显然，原线性規划冋題的基可行解发生改变，即改变线性规划冋題的技术系数和约東右端顶，对其最优解有影附.对目标函数值的影晌从⑴中得知冋題的最优解发生了改变，但要指出的是,尽管线性规划间题的最优解发生了改变，但湘问题的目标函数值朋无影晌.对检验数的影响从影子价格的含义上观赛单纯形表的廿算.mCj—Zj=Cj-CBB»Pj=勺一工®X(-1m勺代表第/种产品的产值,工嘶是生产複种产品所消耗各JOS的影子价18的总和,j-i即产品的隐含成本•肖产品产值大干隐含成本时，表明生产该顶产品有利，可在廿则中安排，否囲用这些资源来生产别的产晶更有利，就不在生产it则中安排，这就是单纯形表中各个检騎数的经济意义•因此，只是勺一“的正负对线性规划问题有影喇•对比技术系数、约東右端Bi改变前后，c.-z.均so,故其对线性规划问题的影响是一致的.对影子价格的影晌经过上述分林，显然，技术系数、约束右端项改变后，某些设备资源的影子价格加生了改变.5.2启示和意义通il探究发现，改变线性规则间题的技术系数、约東右端顶，对冋題的最优解、检验数、影子价怡有所影晌•如果为廿算方便而改变枝术系数和约東右端顶，迪是不可取的；但如果只考虑目标函数值，因为不影叫目标函数值，这是可以的一般说对现行观划问題的求解时确定资源的最优分配方案,对于对IB冋題的求解则是确定对资源的恰当估价，迪种估价直接涉）5资源的最有效利用•如在一个大公司部，可借K1影子价招确定一些部结算价招，以便控制有限资源的利用和考核下屈企业经营的好坏•对此来说，为廿算方便而改变技术系数和约東右端顶是不可取的.5.3局眼牲由于本文实例中只涉员间题的两个约東条件的技术系数、约東右端顶发生改变，并且只针对一些特殊悄形，局限于考虑对线tti«J问题的一些基本影购.5.4努力方向本文只对线性规划问题的枝术系数、约束右端项发生改变后的彫哨，还应柘展到其他系数和因素，如目标函数系数、约東右端项及系数矩阵同时变化的影响，并且本文主要对影子价怡做出影晌分析，还可以做灵敏度分析等，以弥补本文的不足之处.参考文献：(1JWayneL.Winston.OperationsResearchApplicationsandAlgorithms第四販[M].:清华大学,2006:379-382.【2]白云.对偶线11規対基解不对林11产生的矛II和爵子“恪确定[J].科学,20