北京市石景山区高三一模数学文试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．(5分)（2013•石景山区一模）设集合M={x｜x2≤4），N=｛x|log2x≥1｝，则M∩N等于（)A．［﹣2，2］B．｛2｝C．[2,+∞)D．［﹣2，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析:求解二次不等式和对数不等式化简集合M，N，然后直接利用交集的运算求解．解答：解:由M=｛x｜x2≤4}={x｜﹣2≤x≤2｝，N={x|log2x≥1｝={x|x≥2｝，则M∩N=｛x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≥2｝={2}．故选B．点评:本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及对数不等式的解法，是基础的计算题．2．（5分)（2013•石景山区一模）若复数（a﹣i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（）A．1B．﹣1C．D．﹣考点：复数的代数表示法及其几何意义．3794729专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化为复数（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai．再根据在复平面内对应的点在y轴负半轴上的特点即可得出．解答：解：∵a∈R，∴复数（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai．∵复数（a﹣i）2在复平面内对应的点（a2﹣1，﹣2a）在y轴负半轴上，∴，解得a=1．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义、在y轴负半轴上的点的特点是解题的关键．3．(5分）（2013•石景山区一模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量=（m,n）,=(3，6），则向量与共线的概率为(）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．3794729专题：平面向量及应用；概率与统计．分析：利用古典概型的概率计算公式和向量共线定理即可得出．解答：解：由题意可得:基本事件（m，n）（m，n=1,2,…,6）的个数=6×6=36．若,则6m﹣3n=0，得到n=2m．满足此条件的共有（1，2),（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量与共线的概率P==．故选D．点评:熟练掌握古典概型的概率计算公式和向量共线定理是解题的关键．4．(5分)（2013•石景山区一模)执行右面的框图，输出的结果s的值为(）A．﹣3B．2C．D．考点：程序框图．3794729专题:图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：第1次循环，S=﹣3，i=2，第2次循环，S=﹣,i=3,第3次循环，S=,i=4，第4次循环,S=2，i=5，第5次循环，S=﹣3，i=6，…框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，不满足2014≤2013，退出循环，循环次数是2013次，即输出的结果为﹣3，故选A．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环,属于基础题．5．（5分）（2013•石景山区一模）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1)y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3794729专题:直线与圆．分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1,即可得到答案．解答:解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y=0与l2：x+（a+1)y+4=0”化为l1:x+2y=0与l2：x+2y+4=0,显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y=0与l2：x+（a+1)y+4=0平行”必有a(a+1）=2,解得a=1或a=﹣2,所以“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．6．(5分）(2013•石景山区一模)函数y=2sin()(0≤x≤π）的最大值与最小值之和为（)A．0B．2C．﹣1D．﹣l考点：正弦函数的定义域和值域．3794729专题:三角函数的图像与性质．分析：由给出的x的范围求出的范围，则函数的最值可求，最大值与最小值的和可求．解答：解:由0≤x≤π，得，所以当时,函数y=2sin（）有最小值为．当时,函数y=2sin（）有最大值为．所以函数y=2sin（）(0≤x≤π)的最大值与最小值之和为2﹣．故选B．点评：本题考查了正弦函数定义域和值域的求法,考查了正弦函数的单调性，此题是易错题，往往误认为时取最大值．是基础题．7．(5分)（2013•石景山区一模）某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是（）A．B．C．5D．考点：由三视图求面积、体积．3794729专题:计算题．分析：由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．解答：解：由题意可知几何体是底面为直角梯形,直角边长为：4,2，高为3的梯形,棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线,所以长度为：=．故选D．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断出侧棱的最长棱是解题大公鸡，考查计算能力．8．（5分）（2013•石景山区一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件:①P、Q都在函数y=f（x）的图象上;②P、Q关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对［P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．3794729专题:压轴题；新定义．分析：根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”,只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．解答：解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x)=﹣（﹣x)2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x,可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f(x)=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有:2个．故答案选C．点评：本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分)（2013•石景山区一模)函数f（x）=（x﹣a）（x+2）为偶函数，则实数a=2．考点：函数奇偶性的判断．3794729专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f(﹣x）=f（x）,即x2+（a﹣2)x﹣2a=x2﹣(a﹣2）x﹣2a对任意的实数x都成立,由此可得实数a的值．解答：解：函数f（x）=（x﹣a）（x+2）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x)，即（﹣x﹣a）（﹣x+2）=（x﹣a）(x+2），即x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣(a﹣2）x﹣2a对任意的实数x都成立，∴a=2，故答案为2．点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．10．（5分）（2013•石景山区一模）在△ABC中，若,则∠C=．考点：正弦定理．3794729专题：计算题；压轴题．分析:利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．解答:解：∵b=a，∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=,则∠C=．故答案为:点评:此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11．（5分）（2013•石景山区一模）在等差数列{an}中，a1=﹣2013,其前n项和为Sn，若=2，则S2013的值等于﹣2013．考点:等差数列的性质．3794729专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则=An+B．若=2，则可得{｝是以1为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得S2013的值．解答：解：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则=An+B，∴｛}成等差数列．若=2，则=a1=﹣2013，∴｛｝是以1为公差的等差数列．∴=﹣2013+2012×1=﹣1,∴S2013的值等于﹣2013，故答案为﹣2013．点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及构造法的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．12．（5分）（2013•石景山区一模）设抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若∠AQB=90°,则直线l的方程为x=1．考点：抛物线的简单性质．3794729专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A(x1，y1），B(x2,y2)，由∠AQB=90°得kAQ•kBQ=﹣1，建立关系式并化简得y1y2=x1x2+(x1+x2）+1，再根据抛物线的性质将x1x2=1和y1y2=4代入计算，可得x1=x2=1，即可得到直线l的方程．解答：解：设A（x1，y1)，B（x2，y2)∵∠AQB=90°，∴kAQ•kBQ=﹣1,可得•=﹣1,即y1y2=（x1+1)（x2+1）整理可得y1y2=x1x2+（x1+x2）+1…（＊)∵直线AB经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴根据抛物线的性质，可得x1x2=p2=1，y1y2=p2=4代入（＊）得:4=1+（x1+x2)+1，可得x1+x2=2结合x1x2=1，可得x1=x2=1，即A、B两点的横坐标相等，∴直线AB的方程为x=1，即直线l的方程为x=1故答案为：x=1点评：本题给出抛物线的焦点弦AB的端点对点Q（﹣1，0)的张角等于90度，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．13．(5分）（2012•江苏）如图,在矩形ABCD中,AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．3794729专题:计算题．分析:根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示,做出要用的向量的模长,表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解:∵，====｜|=，∴|｜=1，｜｜=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为:点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．14．（5分）（2013•甘肃三模)观察下列算式：l3=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n=45．考点：类比推理．3794729专题：计算题．分析:可得规律：第n行的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n行的第一个数为an,累加可得an，计算可得a45=1981，a46=2071，可知2013在第45行．解答：解:由题意可得第n行的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n行的第一个数为an，则有a2﹣a1=3﹣1=2,a3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得an﹣a1=，故an=n2﹣n+1，可得a45=1981,a46=2071，故可知2013在第45行，故答案为：45点评：本题考查类比推理，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题．三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．15．（13分)(2013•石景山区一模)已知函数．（Ⅰ）求函数f（x)的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2,,求△ABC的面积．考点:两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性;正弦定理．3794729专题：解三角形．分析:（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+)，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f(x）的单调递增区间．（Ⅱ)由已知,可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值,再由S=ab•sinC,运算求得结果．解答：解:（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+,函数f（x)的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此,2A+=，解得A=．由正弦定理,得b=，…（10分）由A=，由B=，可得sinC=，…（12分）∴S=ab•sinC==．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角，属于中档题．16．（13分）（2013•石景山区一模）PM2。5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物．PM2。5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级：在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标：（Ⅱ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2。5日均监测数据未超标的概率:（III）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2。5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．考点：茎叶图;古典概型及其概率计算公式．3794729专题:图表型；概率与统计．分析：（I）由茎叶图知：这10天PM2。5数据:21，26，37，59，60，63，85,86,104，107．计算出平均数为64.8．由于64.8介于35和平力量5之间，属于二级指标，未超标．（II)记“他刚好赶上PM2。5日均监测数据未超标”为事件A,利用古典概型及其概率计算公式计算当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（III）由茎叶图知：PM2.5数据在0~35之间的有21，26．PM2.5数据在35～75之间的有37,59，60,63．从6个数据中抽取2个的情况有：C=15,而这两天空气质量恰好有一天为一级有：2×4=8个，最后利用古典概型计算公式计算即可得到结论．解答：解：（I)由茎叶图知：这10天PM2.5数据：21,26，37，59，60，63，85，86，104，107．平均数为==64。8．64。8介于35和平力量5之间，属于二级指标，未超标．（II）记“他刚好赶上PM2。5日均监测数据未超标”为事件A，∴P(A）=；（III）由茎叶图知：PM2.5数据在0～35之间的有21，26．PM2。5数据在35～75之间的有37，59,60，63．从6个数据中抽取2个的情况有：C=15，∴这两天空气质量恰好有一天为一级情况有：2×4=8个;∴这两天空气质量恰好有一天为一级的概率P=．点评：本题考查茎叶图，等可能事件概率的求法,考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．17．(14分）(2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=,BC=4．（I)求证：BD⊥PC；（II）设AC与BD相交于点O,在棱PC上是否存在点E,使得OE∥平面PAB？若存在，确定点E位置．考点：直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定．3794729专题:空间位置关系与距离．分析：(I）利用勾股定理可得DB,利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°,即BD⊥DC，再利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BD，利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（II）存在点E，使得OE∥平面PAB，此时．在PC上取点E使得，连接OE．利用平行线分线段成比例定理可得,而，即可得到OE∥PA．利用线面平行的判定定理即可证明．解答：证明：（Ⅰ）在Rt△ABD中，∵AD=1，AB==4，∴BD=2．∴∠ABD=30°，∴∠DBC=60°．在△BCD中,由余弦定理得DC2=22+42﹣2×2×4cos60°=12，∴DB2+DC2=BC2,∴∠BDC=90°．∴BD⊥DC．∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．又PD∩DC=D,∴BD⊥平面PDC．∴BD⊥PC．（II）存在点E,使得OE∥平面PAB，此时．证明如下：在PC上取点E使得,连接OE．由AD∥BC，，∴，可得OE∥PA．又∵PA⊂平面PAB，OE⊄平面PAB，∴OE∥平面PAB．点评:本题综合考查了余弦定理和勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力和推理能力及计算能力．18．（14分)（2013•石景山区一模）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值,对∀x∈（0,+∞）,f（x)≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．3794729专题：导数的综合应用．分析：①对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；②由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值,再依据不等式恒成立时所取的条件,求出实数b的取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，．…(1分）①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数;…（3分)②若a＞0，令f′（x)=0得x=．在区间(0，)上，f′（x）＜0，函数f（x)是减函数；在区间上,f′（x）＞0,函数f（x)是增函数；综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞）,无递增区间；②当a＞0时，f（x）的递增区间是,递减区间是．…（6分)（II)因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f′(1）=0解得a=1，经检验满足题意．…（7分）由已知f（x）≥bx﹣2，则…（8分）令，则…（10分)易得g（x）在(0，e2］上递减，在[e2，+∞）上递增，…（12分)所以g（x）min=，即．…（13分）点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．19．（13分）（2013•石景山区一模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，左焦点F1到直线l：的距离等于长半轴长．（I）求椭圆C的方程;（II)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程．3794729专题：综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I)由离心率为得，所以F1（﹣a，0)，由F1到直线l的距离为a，所以解得a,从而得c，由b2=a2﹣c2得b；(II）由（I)知F2（1，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣1)，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，易知恒有△＞0,设M(x1,y1），N（x2，y2），根据韦达定理及中点坐标公式可得MN中点的坐标，分情况讨论:当k=0时易求m值；当k≠0时写出MN中垂线方程，令y=0得m，变形后用基本函数的范围即可求得m的范围，综合两种情况即可求得m的取值范围；解答：解：（I)由已知，可得F1（﹣a，0），由F1到直线l的距离为a，所以，解得a=2，所以c=1，b2=a2﹣c2=3，得b=，所以所求椭圆C的方程为；（II）由（I）知F2（1，0），设直线l的方程为:y=k（x﹣1),由消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，因为l过点F2，所以△＞0恒成立,设M（x1,y1)，N（x2，y2），则，y1+y2=k(x1+x2﹣2）=，所以MN中点（，），当k=0时，MN为长轴，中点为原点，则m=0，当k≠0时MN中垂线方程为y+=﹣，令y=0，得m==，因为,所以，可得0＜m＜，综上可知实数m的取值范围是［0，）．点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分析解决问题的能力，解决该类题目常用的知识为韦达定理、判别式等，应熟练掌握．20．（13分