北京市西城区（北区）高二下学期期末考试数学文试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2012-2013学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分)已知全集U={1,2，3，4，5｝，集合A={1，3}，B=｛3，4}，那么集合（∁UA)∩（∁UB）等于(）A．{2｝B．{2,5}C．{3｝D．｛1，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题:计算题．分析：根据补集的定义求得（∁UA）和（∁UB)，再根据两个集合的并集的定义求得（∁UA）∩（∁UB）．解答：解:∵全集U={1，2，3，4，5｝,集合A={1，3｝，B=｛3，4｝，则（∁UA)={2，4,5｝，(∁UB)={1,2,5｝,∴（∁UA)∩（∁UB）={2,5｝，故选B．点评：本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法,属于基础题．2．（5分)i是虚数单位，若复数z满足z（2﹣i）=7﹣i，则z等于（）A．1+3iB．1﹣3iC．3﹣iD．3+i考点:复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意求出复数z，再分子分母同乘以2+i后化简即可．解答：解：由z（2﹣i）=7﹣i得，===3+i,故选D．点评:本题考查了复数的乘除运算，对于除法分子分母同乘以分母的共轭复数后再化简．3．（5分)函数的图象在点（2，f（2）)处的切线方程是（）A．x﹣4y=0B．x﹣4y﹣2=0C．x﹣2y﹣1=0D．x+4y﹣4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求导函数，确定切线的斜率,求出切点的坐标，即可得到切线方程．解答：解：求导函数，可得∴,f(2）=∴函数的图象在点（2，f（2)）处的切线方程是y﹣=（x﹣2)，即x+4y﹣4=0故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．4．（5分）设a，b，c∈R,则“ac2＜bc2”是“a＜b”的（)A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由ac2＜bc2,可得a＜b，反之若a＜b，则ac2＜bc2，故可得结论．解答：解：若ac2＜bc2，∵c2＞0，∴a＜b，∴ac2＜bc2是a＜b的充分条件若a＜b,∵c2≥0,∴ac2≤bc2，∴ac2＜bc2不是a＜b的必要条件∴ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件故选A．点评:本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题．5．（5分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x),如果f′（x)为偶函数，则一定有(）A．a≠0，c=0B．a=0，c≠0C．b=0D．b=0，c=0考点：导数的运算；函数奇偶性的判断．专题：导数的概念及应用．分析:先求导数f′（x)，由f′（x）为偶函数可知f'（x）=f'（﹣x），故2bx=0恒成立，所以b=0，由此得出答案．解答：解：函数f（x)=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c,∵函数f′(x）=3ax2+2bx+c是定义在R上的偶函数,∴f'（x）=f'（﹣x)，即3ax2+2bx+c=3ax2﹣2bx+c,∴2bx=0恒成立，b=0．故选C．点评:本题考查导数的运算、函数奇偶性的判断、函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．6．（5分）对于x∈R，函数f（x）满足f（1﹣x)=f（1+x），f（x+2）=f（x），若当x∈（0，1］时，f（x）=x+1,则等于（）A．B．C．D．考点：函数的周期性;函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x）,得到函数的周期是2，由f（1﹣x）=f（1+x）,得到函数关于x=1对称，然后利用周期和对称将转化到（0，1）内的数值进行求解．解答：解:因为f（x+2）=f(x），所以函数的周期是2．又f（1﹣x）=f（1+x),所以函数关于x=1对称,所以f（）=f(2×）=f（）=f(1+）=f（1﹣）=f（)，因为x∈（0，1]时，f（x）=x+1,所以f（）=，故选B．点评:本题考查了函数的周期性和对称性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用．7．(5分）(2009•西城区二模）如果数列｛an}（an∈R）对任意m，n∈N＊满足am+n=am•an，且a3=8,那么a10等于（）A．1024B．512C．510D．256考点：数列递推式．专题：计算题．分析:利用赋特殊值法：可令an=2n满足条件am+n=am•an，且a3=8，即可得到a10的值．解答:解：由已知am+n=am•an，且a3=8赋特殊值得a1=2，a2=22,…，an=2n,数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a10=210=1024故选A点评：本题是一道基础题,做题的方法是赋特殊值满足已知条件求出所求．要求学生掌握等比数列的通项公式．8．（5分）已知函数，若同时满足条件：①∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是(）A．（4，8］B．［8，+∞）C．（﹣∞,0）∪［8，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4,8］考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求导数，由①得到;由②∀x∈（8，+∞）,f(x)＞0，故只需f（x)在（8,+∞）上的最小值大于0即可，分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．解答:解：由于,则=令f′(x）=0,则，故函数f(x)在（﹣∞，x1）,(x2,+∞）上递增，在（x1,x2）上递减由于∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x)在(8,+∞)上的最小值大于0即可，当x2＞8，即时,函数f(x)在（8，+∞)上的最小值为，此时无解;当x2≤8,即时,函数f（x）在（8,+∞）上的最小值为,解得a≤8．又由∃x0∈（0,+∞），x0为f（x)的一个极大值点，故解得a＞4；故实数a的取值范围为4＜a≤8故答案为A点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）已知命题p:∀x∈［1，+∞），lnx＞0，那么命题¬p为∃x∈［1，+∞），lnx≤0．考点:全称命题；命题的否定．专题：探究型．分析：利用全称命题的否定是特称命题，可以求出￢p．解答：解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p：∃x∈［1,+∞），lnx≤0．故答案为：∃x∈［1，+∞），lnx≤0．点评：本题主要考查了含有量词的命题的否定,要求掌握含有量词的命题的否定的两种形式,全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．10．（5分)数列{an}满足，则a2=1,a3=3．考点：数列的概念及简单表示法．专题:等差数列与等比数列．分析:利用分段数列的意义即可解出．解答：解:取n=1，则a2=1；取n=2，则a3=2a2+1=2×1+1=3．故答案分别为1，3．点评：正确理解分段数列的意义是解题的关键．11．（5分）设a=30.2，b=0.32，c=log20。3，则实数a，b,c的大小关系是a＞b＞c．考点：有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质;不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数和对数函数的性质，分别判断出30.2＞1、0。32＜1和log20.3＜0，得a、b、c三者的关系．解答：解：根据指数函数的性质,a=30。2＞1，0＜b=0。32＜1，根据对数函数的性质，log20。3＜0，则a＞b＞c，故答案为:a＞b＞c．点评：本题考查了指数和对数函数的性质应用，比较大小时常选的中间量是0和1，属于基础题．12．（5分）设数列｛an}的前n项和为Sn，且对于任意n∈N＊，都有成立，则an=2n﹣1+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：利用即可得出．解答：解：当n=1时,；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+n﹣1﹣（2n﹣1+n﹣1﹣1)=2n﹣1+1．上式对于n=1时也成立．∴．故答案为2n﹣1+1．点评:熟练掌握是解题的关键．13．（5分）已知函数的图象在x=0和处的切线互相平行，则实数a=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析:由求导公式和法则求出导数，再把x=0、代入求出导数值，再根据直线平行的充要条件建立方程求a．解答：解：由题意得，=，把x=0代入得，y′=，把代入得，y′=，由题意得,=，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了导数的几何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及直线平行的充要条件的应用．14．（5分）设函数，其中n∈N＊，且n≥2,给出下列三个结论:①函数f2（x）在区间(）内不存在零点；②函数f3(x）在区间(）内存在唯一零点；③∀n∈N＊，且n≥4，函数fn（x）在区间内存在零点．其中所有正确结论的序号为②③．考点:全称命题；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：①判断函数f2（x）=x2+x﹣1在区间（）上取值情况．②利用的单调性判断．③利用根的存在定理判断．解答:解:①因为f2（x）=x2+x﹣1，所以，所以f2（x)在区间（）上存在零点，所以①错误．②由题意知．因为，所以f3（x）在区间(）上存在零点,又因为为单调递增函数，所以函数f3（x）在区间（）内存在唯一零点，所以②正确．③∀n∈N*，且n≥4，，所以函数fn（x）在区间内存在零点，所以③正确．故答案为：②③．点评：本题考查了函数零点的判断，判断函数零点问题主要是利用根的存在定理,判断区间短点处的函数值符合相反即可．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分)设a＞0，集合A={x||x｜≤a}，B={x｜x2﹣2x﹣3＜0}，(I)当a=2时，求集合A∪B；(II）若A⊆B，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；集合的包含关系判断及应用;并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）解绝对值不等式求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根据两个集合的并集的定义求得A∪B．（II）根据集合A={x｜|x｜≤a｝={x｜﹣a≤x≤a}(a＞0），且A⊆B，可得，解不等式组求得a的范围．解答：（I)解：因为集合A={x｜|x｜≤2}={x|﹣2≤x≤2｝，（2分）集合B=｛x|x2﹣2x﹣3＜0｝={x｜﹣1＜x＜3}，（4分)所以A∪B=｛x｜﹣2≤x＜3｝．（7分）(II）解:集合A=｛x｜｜x|≤a｝={x|﹣a≤x≤a｝（a＞0)，（9分）因为A⊆B,所以（11分）解得a＜1，所以0＜a＜1，即a的范围为（0，1)．(13分)点评：本题主要考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．16．（13分)设等差数列{an｝的前n项和为Sn，且a2=2，S4=10,数列{bn}满足an=log2bn，其中n∈N＊．（I)求数列｛an}的通项公式;（II）求数列{anbn}的前n项和Tn．考点：等差数列与等比数列的综合．专题:等差数列与等比数列．分析:（I）根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合题意列出方程求出首项、公差，代入通项公式；(II)由(I）和条件求出bn,再代入anbn及Tn,利用错位相减法求出Tn．解答：解:(I）设等差数列{an}的公差为d,由a2=2，得a1+d=2，①由S4=10,得，②由①和②解方程，得a1=1,d=1,∴an=a1+（n﹣1）d=n．（II)由(I）得，an=n=log2bn，∴,anbn=n•2n,∴,①则，②由①﹣②得，,∴，∴数列{anbn｝的前n项和．点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及对数的运算，错位相减法求数列的前n项和公式，属于中档题．17．（13分)已知函数，其中a∈R．（I）求证：函数f（x）为奇函数；（II）若a=3，求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用奇函数的定义，即可得到结论；（II)求导函数,利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数f（x)的极值．解答：解：（I)函数的定义域为｛x|x∈R且x≠0｝．（1分）因为，所以函数为奇函数，（5分)(II）因为，所以．(8分）令f′(x）=0，解得x=±1．（9分）当x变化时,f(x)与f′（x)的变化情况如下表:x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，0）（0，1）1（1，+∞)f′（x）+0﹣﹣0+f（x）极大值极小值（11分)所以当x=﹣1时，f（x）有极大值f（﹣1)=﹣4，当x=1时,f（x)有极小值f(1）=4．(13分）点评:本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性与极值，考查导数知识的运用，属于中档题．18．（13分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年需各种费用4万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加2万元．（I）写出该渔船前四年每年所需的费用（不含购买费用）；(II）假设该渔船在其年平均花费额(含购买费用）最低的时候报废,试求此渔船的使用年限？考点:函数模型的选择与应用；基本不等式．专题:应用题;函数的性质及应用．分析:（I）根据第一年需各种费用4万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加2万元,可得结论；（II）确定总花费函数，可得年平均花费额，利用基本不等式，即可求得结论．解答:（I）解:设第n年所需费用为an（单位万元），则a1=4，a2=6，a3=8，a4=10,（2分）（II）解：设该渔船使用了n(n∈N*）年，其总花费为y万元，则，（5分)所以该渔船的年平均花费额为，（8分)因为W=，所以当，即n=10时，年平均花费额W取得最小值23．（12分）答：此渔船的使用年限为10年．（13分)点评:本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．19．（14分）设函数，且,其中n=1，2，3,…．（I）计算a2，a3的值；（II)设a2=2,求证：数列{bn｝为等比数列；（III）求证：．考点：数列与函数的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I)利用数列递推式，代入计算可得结论；（II）利用等比数列的定义,即可证得结论；（III)结合数列的通项，利用作差法，即可证明结论．解答：（I）解：由题意,得，（1分）因为，所以，，(3分）（II）证明：因为,所以．所以数列{bn｝是首项,公比为的等比数列，(7分)（III)证明：由（II）,得，（8分）所以．（9分)因为，且当n∈N*时，2n﹣1﹣1≥0，2n+2＞0,所以，即．（12分）因为,所以an＜1．综上，对于任意n∈N*，都有．(14分）点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分)已知函数,．（I）求函数f（x）的解析式；（II)若对于任意x∈(0，+∞），都有f(x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围;（III）设x1，x2，a1，a2＞0,且a1+a2=1，求证:a1lnx1+a2lnx2≤ln（a1x1+a2x2）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（I）欲求函