《应用数学基础》课件第十一章　典型习题解答与提示

第十一章数列与数学归纳法典型习题解答与提示习题11-11．（1）；（2）；（3）；（4）。2．（1）；（2）；（3）。3．（1）；（2）；（3）；（4）。4．（1）是，并且为第10项；（2）不是；（3）令，则有（舍去），所以第12项为120。（4）令，则（舍去），所以第17项为255。5．（1）是递增、无穷、无界数列；（2）是递减、无穷、有界数列；（3）是无穷、有界、常数数列；（4）是有穷、有界、摆动数列。习题11-21．（1）；（2）；（3）；（4）。2．（1）；（2）因为，所以，所以；（3）因为，所以，所以。3．（1）等差中项；（2）等差中项。4．因为，所以，即，所以所求三个数分别为：。5．（1）设等差数列首项为，公差为，则，得，即；*（2）设等差数列首项为，公差为，则所以，。6．已知，由得，解之得所以，，，故中间三个滑轮的直径分别为：144mm，168mm，192mm。7．已知，由得：由得：。故该音乐厅共有2730个座位。*8．设这三个数为：，，。已知由得，代入中：所以。当时，这三个分别为－4，－1,2，当时，这三个分别为2，－1，－4。习题11-31．（1）；（2）。2．（1）；（2），；（3），所以；（4），所以，；，。3．（1）设数列为：，，，…，，，…，，…，显然若去掉中的前项，其余各项组成的仍是等比数列，并且它的首项为，公比仍是；（2）若依次去掉中的所有奇数项，组成的数列仍是等比数列，它的首项是，公比是。4．（1）等比中项；（2）等比中项。5．已知，，，由得，所以。，，，。所以在160与5之间插入的四个数为80,40,20,10。6．（1）；（2）；（3）时，；时，；（4）；。*7．已知，求，。由得由得：故第五年的产值是285.61万元，这五年的总产值是904.31万元。8．这10个正方形的面积数组成一个等比数列，并且。因此（1）；（2）。习题11-4不对，因为这种推理不具有一般性。不对，假设是在特殊成立的情况下给出的。（1）证明：①当时，左边，右边，左边＝右边，结论成立；②假设当时，结论成立，即：成立，那么当时，左边右边所以，左边＝右边。由①②知，当为任意正整数时，恒成立。用同样的方法可以证明（2）（3）（4）。4．（1）证明：①当时，，显然能被整除。②假设当时，能被整除，那么，当时，因为能被整除，能被整除。所以亦能被整除。由①②知，当为任意正整数时，结论成立。同样方法可以证明（2）。复习题十一1．（1）－2；（2）－2；（3）是等差数列，公差为－2，首项为1。2．（1）；（2）。3．设这三个数分别为，，，由已知得：，解之得。当时，这三个数分别为，，；当时，这三个数分别为，，。4．（1）2；（2）2；（3）是等比数列，公比为2，首项为。5．设这三个数分别为：，，，由已知得，解之得，当时，这三个数为，，；当时，这三个数为，，。6．因为数列是公比为的等比数列。所以左边，右边。所以，左边＝右边，等式成立。7．设该等比数列为，，，…，，分别取对数得，，，…，，即，，，，…，，显然数列，，，…，是一个公差为的等差数列。8．（1）因为，，（公比）。数列为等比数列，，所以。（2），，所以不是等比也不是等差数列。。9．因为，所以，所以，所以是方程的根。*10．球第一次着地经过100，从这时球第二次着地共经过，从这时第三次着地共经过，到第10次着地共经过：。11．因为，设，则，所以(舍去)，，所以多边形边数为4。12．(1)由已知得，即。所以。由得；(2)由已知得，即，由得，所以。13．（1）由得，，，所以，，；（2）因为，，所以。显然数列是等差数列，。*14．（1）当时，左边，右边，左边＝右边；（2）假设当时等式成立，即成立。那么当时，左边因为，所以左边，右边所以左边＝右边所以由（1）和（2）可知，对于任何正整数，等式都成立。15．由已知，第层