文档盈亏问题

盈亏问题【盈亏问题公式】

（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：

（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（2）两次都有余（盈），可用公式：

（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（3）两次都不够（亏），可用公式：

（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：

亏÷（两次每人分配数的差）=人数。

（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：

盈÷（两次每人分配数的差）=人数。

一、

基本型盈亏问题

基本概念：一定量的物体，按照某种标准进行分组，最后会产生一种结果；

按照另一种标准进行分组，又会产生另一种结果。

基本特点：两个未知：总份数，总数。

两个一定：总份数不变，总数不变。

基本思路：比较法：（1）总份数=总差÷每份差

（2）再代到任一条件求总数。

基本题型：

盈盈型：总份数=

（较大余数‐较小余数）÷每份差；

亏亏型：总份数=

（较大不足数‐较小不足数）÷每份差；

盈亏型：总份数=

（余数+不足数）÷每份差。

如：小朋友分苹果，每人4本多10个；每人6本少8个，问多少人多少苹果？

两个未知：人为份数，苹果为总数；

两个一定：人数不变，苹果数不变。

（1）人数=

（10+8）÷（6‐4）=9

（2）苹果数=4×9+10=46

（或6×9‐8=46）

我们遇到的题目一定首先分清什么是份数，什么是总数，可以套一下人分苹

果模型，人为份数，苹果为总数。

有变化的盈亏问题先把它转化成基本型盈亏。

例1：（2008春蕾杯小学数学邀请赛决赛）A、B买了相同张数的信纸。A在

每个信封里装1张信纸，最后用完所有信封还剩40张信纸；B在每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封。他们都买了多少张信纸？

分析与答：信封为份数，信纸为总数。

每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封，相当于如果把所有的信封用完还差3×40=120张信纸。

即：每个信封里装1张信纸，还剩40张信纸；

每个信封里装3张信纸，120张信纸。

信封数=

（40+120）÷（3‐1）=80

信纸数=80×1+40=120

注：很多同学的错误解法是信封数=（40+40）÷（3‐1）=40

计划时间：（400+300）÷（60‐50）=70分钟

CB路程：50×70+400=3900米

家到学校距离AB：3900+100=4000米。

四、

分组标准不统一的盈亏问题：

基本型盈亏解决的是分类标准统一的题目，当分类标准不统一时一定把它转

化成对应的分类标准统一的情形。统一的标准一般是“其余”

学案3：少先队去植树，每人挖5个坑，还有三个没人挖；如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。有多少人，多少坑？

分析与答：人为份数，坑为总数。

如果其中2人各挖4

个，其余每人挖6个，就刚好挖完。相当于每人挖6个差（4‐2）×2=4个坑。

即：每人挖5个坑，多3个；

每人挖6个坑，差4个。

人数：（3+4）÷（6‐5）=7人

坑总数：7×5+3=38个

注：如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。分类标准不统一，有人挖4个。也有人挖6个。统一成与“其余”一样，每人挖6个差（4‐2）×2=4个坑。

例4：同学搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人各搬5块，这样最后剩下148块；如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样最后还剩下20块。问有多少学生多少砖？

分析与答：人数为份数，转数为总数。

有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人各搬5块，这样最后剩下148块。

分类标准不统一，统一标准找其余每人各搬5块。即所有人都搬5块，那么搬7块的人每人能剩下7‐5=2块，12人可剩下12×2=24块；有20人每人各搬6块，可剩下20×（6‐5）=20块，

这时共剩下24+20+148=192块。本条件转化为：如果每人各搬5块，则剩下12×（7‐5）+20×（6‐5）+148=192块。

如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样最后还剩下20块。分类标准不统一，统一标准找其余每人各搬10块。即所有人都搬10块，那么搬8块得每人差10‐8=2块，30人差2×30=60块；那么搬9块得每人差10‐9=1块，8人差1×8=8块，这时共差60+8‐20=48块。本条件转化为：如果每人各搬10块，差（10‐8）×30+

（9‐8）×8‐20=48块。

如果每人各搬5块，剩192块；

如果每人各搬10块，差48块。

人数：（192+48）÷（10‐5）=48人

砖数：48×10‐48=432块

五、份数为多种事物的盈亏问题：

基本型盈亏解决的是份数是同一种事物的题目，当份数不是同一种事物时一

定把它转化成对应的份数是同一种事物的情形。转化条件找题目中描述两种事物

对应关系的关键条件。

学案4：（走美真题）幼儿园老师把一袋糖果分给小朋友，如果分给大

班的小朋友，每人5粒缺6粒；人过分给小班的小朋友，每人4粒余4粒。已知大班比小班少2个小朋友，这袋糖果共有多少粒？

分析与答：人数为份数，糖果数为总数。

分大班：每人5粒缺6粒；

分小班：每人4粒余4粒。

份数不是同一种，即大班小班人数不一样，要先转化成同一个班，转化依据

是“大班比小班少2个小朋友”，

方法一：把小班转化成大班：分小班：每人4粒余4粒，转化成分大班：每

人4粒余4×2+4=12粒。

即：分小班：每人5粒，缺6粒；每人4粒余12粒。

大班人数：（12+6）÷（5‐4）=18人

糖果总数5×18‐6=84粒

方法二：当然本题也可以把分大班：每人5粒缺6粒的条件转化成分小班：每人5粒缺5×2+6=16粒，希望孩子们自己试试。

例5（2010年迎春杯四年级初赛）小红去买水果，如果买5千克苹果则少4元，如果买6千克梨则少3元，已知苹果比梨每500克贵5角5分，问小红带了多少钱？

分析与答：苹果和梨的单价为份数，总钱数为总数。

买苹果：买5千克少4元；

买梨：买6千克少3元。

份数为两种事物：苹果和梨，因此要转化为同一种，转化依据是“苹果比梨

每500克贵5角5分”即：苹果比梨每千克贵1.1元。

方法一：把梨转化为苹果：买梨：买6千克少3元，用这些钱去买苹果，买6千克应该少1.1×6+3=9.6元。

方法二：把苹果转化成梨：买苹果：买5千克少4元，用这些钱去买梨，买5千克应多1.1×5‐4=1.5元，

买梨：买5千克多1.5元；

买6千克少3元。

梨的单价：（1.5+3）÷（6‐5）=4.5元每千克

总钱数：4.5×6‐3=24元

六、

同时分配多种事物的盈亏问题：

基本型盈亏解决的是分配同一种事物的题目，当同时分配的事物不只一种

时，把其中某一种的分配数量调整相同，再比较数量不同的那一种。

例6

（全国奥赛竞赛试题）苹果和梨各有若干个，如果每5个苹果和3个梨装一袋，还多4个苹果，梨正好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12个。苹果和梨各多少个？

分析与答：同时分配两种事物：苹果和梨；

每袋：5个苹果+3个梨，还多4个苹果；

7个苹果+3个梨，还多12个梨。

盈亏问题的核心思路是比较法：两种分法梨数量相同无法比较，所以应比较苹果数量，每袋7个苹果+3个梨，还多12个梨，如果把全部梨分完还需要12÷4×7=28个苹果，

每袋：5个苹果+3个梨，还多4个苹果；

7个苹果+3个梨，还差28个苹果。

袋数为份数，苹果数为总量。

袋数：（28+4）÷（7‐5）=16袋

梨数：16×3=48个

苹果数：16×5+4=84个。

补充题（南京兴趣杯竞赛试题）有若干苹果和梨，如果1个苹果和3个梨放一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，如果按半个苹果配两个梨一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，苹果和梨各多少个？

分析与答：如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨；

如果0.5个苹果和2个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。

与上道题的不同之处在于苹果和梨的数量都不相同，选择把苹果的数量统一成一个（也可把梨的数量统一成6个，但是两个条件都要变，麻烦）即：如果1个苹果和4个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。

如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨；

如果1个苹果和4个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。这时苹果数相同，梨数不同，比较梨数，梨分完时还剩0.5个苹果，把这0.5个苹果分完，还差0.5×2个梨。原题转化为：

如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨；

堆数为份数，梨为总数。

共（2+2）÷（4‐3）=4堆，即4个苹果

梨数：4×3+2=14个

七、

两次分配的是两种不同事物的盈亏问题：

基本型盈亏解决的是分配同一种事物的题目，当分配的事物不只一种时，根

据题中的条件，把其中某一种的转化为另一种。

例7：幼儿园有苹果和桃子，苹果数是桃子的2倍，分给小朋友们。每人分桃5个，最后余下桃子15个；每人分苹果14个，则苹果数差30个，那么幼儿园有桃和苹果各多少个？

分析与答：

分桃：每人5个剩15个；

分苹果：每人14个差30个。

方法一：