高中数学-第四讲-变换的不变量与矩阵的特征向量-41-课件

第四讲

变换的不变量与矩阵的特征向量第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.掌握矩阵的特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).1.掌握矩阵的特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明1231231231231231231231231232.特征向量的性质设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则对任意的非零常数k,kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.名师点拨1.如果k是非零常数,则kξ≠0,由于A(kξ)=kAξ=k(λξ)=(kλ)ξ=λ(kξ),所以kξ是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.2.从几何直观上看,如果ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,那么与ξ共线的所有非零向量都是A的属于这个特征值λ的特征向量.3.不是每个二阶矩阵都有特征向量和特征值.1232.特征向量的性质1231231231231231231231231231231231231231231231231231231231231.矩阵的特征值与特征向量的含义是什么?剖析:ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则Aξ=λξ,其中使得向量ξ变为λξ,即变为与向量ξ共线的向量λξ,当λ>0时,所得向量λξ与ξ同向;当λ<0时,所得向量λξ与ξ反向;当λ=0时,所得向量λξ为零向量.也就是存在特征值λ和特征向量ξ,在线性变换A的作用下,只让向量ξ发生了伸缩变换.既然是伸缩变换,则kξ也发生了伸缩变换,所以kξ也是属于特征值λ的特征向量.1.矩阵的特征值与特征向量的含义是什么?2.求二阶矩阵特征值和特征向量的简要步骤是什么?剖析:(1)设矩阵A的特征值为λ,特征向量为ξ,则Aξ=λξ;(2)将上述矩阵形式的方程改写为普通方程组,并合并同类项;(3)把得到的方程组改写为齐次线性方程组的矩阵形式;(4)令齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为0,解出λ的值;(5)将λ的值分别代入齐次线性方程组解出特征向量.2.求二阶矩阵特征值和特征向量的简要步骤是什么?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思特征值与特征向量是相伴出现的,特征向量只属于一个特征值.题型一题型二题型三题型四反思特征值与特征向量是相伴出现的,特题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思根据特征值与特征向量的意义列出所求量的函数关系式是解决此类题的基本途径.题型一题型二题型三题型四反思根据特征值与特征向量的意义列出所题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四123451234512345123451234512345123451234512