第二十九节 直接找点与放缩找点-解析版

第二十九节直接找点与放缩找点知识与方法1．在讨论函数零点个数时，一般采用研究函数的单调性，结合零点存在性定理进行严密地论证函数在某区间上的零点个数.例如，当我们论证出在区间上单调递减，在上单调递增，且时，如下图所示，为了严密论证在上有两个零点，需在左侧取出，右侧取出，才能得出共有两个零点的结论，这类问题一般称之为找点问题.2．找点的方法一般有直接找.点、放缩找点、限位取点三种：（1）直接找点：直接取出某自变量，代入函数的解析式能够满足要求即可，一般的原则是指数型解析式取对数点，对数型解析式取指数点，直接找点需要一定的经验积累以及较强的运算求解能力.（2）放缩找点：当直接找点比较困难时，可以对函数的解析式进行适度放缩，再找点.放缩时可先分析函数解析式的各个部分中，哪些是主要部分，哪些是次要部分，放缩时，可以丢掉次要部分，也可以考虑放缩主要部分，放缩的目的是简化表达式，使其易于判断正负（3）限位取点：例如，当我们发现取的点可以趋于正无穷时，不妨在时进行考虑，根据这一前提将表达式的次要部分进行放缩，以达到简化解析式的效果，限位取点本质上也是放缩取点.3.下面给出一些找点问题中常见的放缩不等式4.如何应对灵活的找点题找点题较为灵活，能力要求高，已经成为近几年高考题、模拟题的热门题型.上面列出的那些常用的放缩不等式，其实也无需死记硬背，只需有将指数、对数放缩成低次、高次多项式的意识即可，在具体的问题中，可根据需要选择适当的放缩．想要成为找点高手，光看别人取出来的点多么漂亮，别人的放缩多么精妙是没有用的，同学们唯一能做的，就是亲自去尝试，只有自己尝试取点，才能真正看到这里面的风景，逐步提升自己取点的能力.典型例题【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在上只有一个零点，求a.【解析】（1）若，则，故要证，只需证，即证，也即证，令，则，当且仅当取等号，所以在上单调递减，又，所以，即，故成立.（2）解法1：，令，则在上只有一个零点等价于在上只有一个零点，易求得，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，当时，，所以在上无零点，不合题意；当时，，所以在上有1个零点，符合题意；当时，，又，且，所以在上有1个零点，另一方面，设，则，由（1）可得当时，，所以，故在上单调递增，结合知，从而，所以，从而，故在上有1个零点，所以共2个零点，不合题意；综上所述，当且仅当时，在上只有1个零点.解法2：当时，显然对任意的，都有，令，则，，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在上有两个零点，设为和，不妨设，则，，且或，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增,结合，知恒成立，因为，所以，故无零点，不合题意；当时，，由前面的求解过程知有1个零点，符合题意；当时，注意到，，所以在上有零点，而，设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，显然，从而当时，，故，结合知在上有零点，所以至少有2个零点，不合题意；综上所述，当且仅当时，在上只有1个零点.【反思】本题解法1的思维过程是怎样的？你能想明白吗？【例2】（2017·年新课标Ⅰ卷）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【解析】（1）由题意，当时，，，所以恒成立，故在R上单调递减当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）解法1：当时，由（1）知在R上单调递减，所以至多有一个零点，不合题意；当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，若有两个零点，则必有令，则，所以在上单调递增，结合知当且仅当时，，此时，因为，所以在上有一个零点，又且（易证，所以），所以在上有一个零点，从而共有两个零点，满足题意；综上所述，实数a的取值范围为.解法2：当时，由（1）知在R上单调递减，所以至多有一个零点，不合题意；当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，若有两个零点，则必有，令，则，所以在上单调递增，结合知当且仅当时，，此时，因为，所以在上有一个零点，易证，所以,故，从而，且显然，所以在上有一个零点，从而共有两个零点，满足题意；综上所述，实数a的取值范围为.【例3】已知函数，其中.（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，证明：有唯一的极小值点，（3）对于（2）中的，若，证明：.【解析】（1）当时，，，所以，，故所求切线的方程为，整理得：.（2）由题意，的定义域为，且，，显然当时，，所以在上单调递增，又当时，，当时，，所以有唯一的零点，且，，从而在上单调递减，在上单调递增，故有唯一的极小值点.（3）由（2）可得，因为，所以，故，设，则，显然当时，，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，易证在上恒成立，所以当时，又，，所以有唯一的零点，且该零点在上，因为，且，所以，故又，设，则，从而在上单调递增，又，，所以，故.【反思】本题在论证有零点时，采用了max和min取点，这是一种限位取点的方法.强化训练l.证明：函数有两个零点.证明：由题意，，，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，因为，f，所以在上有1个零点，又，所以共有2个零点.2.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若有且仅有1个零点，求m的取值范围.【解析】（1）当时，，，所以，，从而在处的切线方程为，整理得：.（2）解法l：由题意，，，①当时，，所以在上单调递增，又，，所以有唯一的零点，满足题意；②当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，若，则，所以有唯一的零点，满足题意；若，则，所以恒成立，故无零点，不合题意；若，则，又，所以在上有一个零点，另一方面，，设，则，所以在上单调递增，因为，所以恒成立，从而，且易证，所以在上有一个零点，故共有2个零点，不合题意；综上所述，实数m的取值范围是.解法2：令，则，所以，设，则函数有且仅有1个零点等价于函数有且仅有1个零点，易求得，，①当时，，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，满足题意；②当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，从而，若，则，所以在上有唯一的零点，满足题意；若，则，所以恒成立，故在上无零点，不合题意；若，则，又，且，所以在上有一个零点，另一方面，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，从而，故，且，所以在上有一个零点，故共有2个零点，不合题意；综上所述，实数m的取值范围是.3.（2021·新课标Ⅱ卷）设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，且，因为，所以，从而，，故在上单调递减，在上单调递增.（2）的图象与x轴没有公共点等价于没有零点，由（1）知，①当时，，所以恒成立，故没有零点，符合题意；②当时，，此时有唯一的零点，不合题意；③当时，，，设，则，且，令，则，所以在上单调递增，结合可得恒成立，所以，显然，所以在上有一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为.4．已知函数，其导函数为.（1）当时，求的最大值；（2）若有两个极值点，求a的取值范围.【解析】当时，，，所以，故，，从而在上单调递增，在上单调递减，故.（2）由题意，，，①当时，，所以在上单调递减，从而最多1个零点，故最多1个极值点，不合题意；②当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，若有2个极值点，则有2个零点，从而必有，所以，此时，，所以在上有1个零点，另一方面，，设，则，所以在上单调递减，从而，故，所以在上有1个零点，故共有2个零点，且这2个零点都是的极值点，综上所述，a的取值范围为.5．已知函数（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若有且仅有1个零点，求实数a的取值范围.【解析】（1），因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，所以，当时，的取值范围是，因为恒成立，所以，故实数a的取值范围是.（2）由题意，，，①当时，，所以在R上单调递减，又，，所以有且仅有1个零点，满足题意；②当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，从而，故，所以，又且，所以在上有1个零点，另一方面，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故，所以当时，，故在上必有1个零点，从而共有2个零点，不合题意；综上所述，实数的取值范围是.6．已知函数，（1）讨论的单调性；（2）已知，若函数与的图象有两个交点，求a的取值范围.【解析】（1）由题意，的定义域为，，当时，，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，当时，或，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，当时，或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）函数与的图象有两个交点等价于方程有两个实根，而，设，则有2个零点，①当时，，所以在上单调递减，故至多1个零点，不合题意；②当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而有2个零点的必要条件是，即，设，则，且，设，则，所以在上单调递减，又，所以当且仅当时，，即，从而，所以，此时，，所以在上有1个零点，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，所以，故，所以，取得：，易得，所以在上有1个零点，从而共有2个零点，满足题意，综上所述，a的取值范围为.7.已知函数，其中，，e为自然对数的底数.（1）当时，证明：；（2）若，证明：有且仅有2个零点.【解析】（1）设，则，因为，，所以，从而在上单调递减，又，所以恒成立，故当时，.（2）由题意，，，所以，，易求得，设，则，所以在上单调递增，又，，所以有1个零点，且当时，，所以，当时，，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，注意到，且，所以在上有一个零点1，且必有，另一方面，由（1）可得当时，恒成立，所以，故，从而在上有1个零点，所以有且仅有2个零点.8．已知函数，其中.（1）若，求在处的切线方程；（2）若有3个零点，求a的取值范围.【解析】（1）若，则，，所以，，故所求切线的方程