2024届四川省成都盐道街中学三高一数学第一学期期末检测模拟试题含解析

2024届四川省成都盐道街中学三高一数学第一学期期末检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，若，则实数的取值范围是A. B.C. D.2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是A. B.C. D.3．设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）A B.或C. D.或4．已知直线：，：，：，若且，则的值为A. B.10C. D.25．已知中，，，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.6．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为()A.2 B.C.2 D.47．若定义运算，则函数的值域是（）A.(-∞，+∞) B.[1，+∞)C.(0.+∞) D.(0，1]8．一条侧棱垂直于底面的三棱锥P﹣ABC的三视图不可能是（）A.直角三角形B.等边三角形C.菱形D.顶角是90°的等腰三角形9．函数的定义域是（）A. B.C. D.（0，4）10．下列六个关系式:⑴其中正确的个数为（）A.6个 B.5个C.4个 D.少于4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则函数的解析式为____________12．已知函数在区间上恰有个最大值，则的取值范围是_____13．已知关于不等式的解集为，则的最小值是___________.14．已知向量，，则向量在方向上的投影为___________.15．计算=_______________16．已知，则__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若两个函数和对任意，都有，则称函数和在上是疏远的（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；（2）若函数和在上是疏远的，求整数a的取值范围18．已知，，，为第二象限角，求和的值.19．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角Ⅰ求值；Ⅱ求的值20．已知函数（1）判断并说明函数的奇偶性；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围21．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】画出图象可得函数在实数集R上单调递增，故由，可得，即，解得或故实数的取值范围是．选D2、D【解题分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.【题目详解】函数，当时，；当时，；当时，，函数的值域是，故选D.【题目点拨】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3、D【解题分析】由奇偶性可将所求不等式化为；利用奇偶性可判断出单调性和，分别在和的情况下，利用单调性解得结果.【题目详解】为奇函数，；又在上单调递增，，在上单调递增，；，即；当时，，；当时，，；的解集为或.故选：D.【题目点拨】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.4、C【解题分析】由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解【题目详解】由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以故选C【题目点拨】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题5、D【解题分析】如图所示，建立直角坐标系，则，，，．利用向量的坐标运算可得．再利用数量积运算，可得．利用数量积性质可得，可得．再利用，，可得，即可得出【题目详解】如图所示，建立直角坐标系则，，，，，及四边形为矩形，，，．即点在直线上，，，，，，即（当且仅当或时取等号），综上可得：故选：【题目点拨】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题6、D【解题分析】由斜二测画法原理，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，结合图形即可求得面积【题目详解】由斜二测画法原理，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，则直观图中等腰梯形的高为h′＝hsin45°；∵等腰梯形的体积为（a+b）h′＝（a+b）•hsin45°＝，∴（a+b）•h＝＝4，∴该梯形的面积为4故选D【题目点拨】本题考查了平面图形的直观图的还原与求解问题，解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系，属于基础题7、D【解题分析】作出函数的图像，结合图像即可得出结论.【题目详解】由题意分析得：取函数与中的较小的值，则，如图所示（实线部分）：由图可知：函数的值域为：.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了指数函数的性质和应用.考查了数形结合思想.属于较易题.8、C【解题分析】直接利用空间图形和三视图之间的转换的应用求出结果【题目详解】由于三棱锥P﹣ABC的一条侧棱垂直于底面，所以无论怎样摆放，该三视图都为三角形，不可能为菱形故选：C【题目点拨】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题9、C【解题分析】根据对数函数的单调性，结合二次根式的性质进行求解即可.【题目详解】由，故选：C10、C【解题分析】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关系式个数为个，故选C.点睛：本题主要考查了：（1）点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，；（2）元素和集合之间是属于关系，子集和集合之间是包含关系；（3）不含任何元素的集合称为空集，空集是任何集合的子集二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】利用函数的图象变换规律，即可得到的解析式【题目详解】函数的图象向右平移个单位，可得到，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，可得到.故.【题目点拨】本题考查了三角函数图象的平移变换，属于基础题12、【解题分析】将代入函数解析式，求出的取值范围，根据正弦取8次最大值，求出的取值范围【题目详解】因为，，所以，又函数在区间上恰有个最大值，所以，得【题目点拨】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由的取值范围推断的取值范围13、【解题分析】由题知，进而根据基本不等式求解即可.【题目详解】解：因为关于的不等式的解集为，所以是方程的实数根，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是故答案为：14、【解题分析】直接利用投影的定义求在方向上的投影.【题目详解】因为，，设与夹角为，，则向量在方向上的投影为：.所以在方向上投影为故答案为：.15、【解题分析】原式考点：三角函数化简与求值16、【解题分析】将题干中的两个等式先平方再相加，利用两角差的余弦公式可求得结果.【题目详解】由，，两式相加有，可得故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）该命题为假命题，反例为:当时，.（2）.【解题分析】（1）利用“疏远函数”的定义直接判断即可，以或举例即可；（2）由函数的定义域可确定实数，构造函数，可证当时，恒成立，即函数和在上是疏远的【小问1详解】该命题为假命题，反例为:当时，.【小问2详解】由函数的定义域可知，故记∵在上单调递增，在上单调递减，∴在上单调递增，∴当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，∴当时，故.18、，【解题分析】由已知可求得，，根据和的余弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求出.详解】，，，，为第二象限角，则，解得，，，.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值【题目详解】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，，【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题20、（1）为奇函数（2）【解题分析】（1）利用函数的奇偶性判断即可；（2）由（1）知为奇函数且单调递增，将不等式恒成立分离参数，利用基本不等式解得即可.【题目详解】（1）函数的定义域为，，所以为奇函数.（2）由（1）知奇函数且定义域为，易证在上单调递增，所以不等式恒成立，转化，即对恒成立，所以对恒成立，即，因，则，所以，即，所以，故实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，属于中档题.21、（1）（2）当海报纸宽为，长为，