2024届重庆市江津中学、合川中学等七校高高一上数学期末质量检测试题含解析

2024届重庆市江津中学、合川中学等七校高高一上数学期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数的定义域是，那么函数在区间上（）A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值C.既有最小值也有最大值 D.没有最小值也没有最大值2．函数的图像必经过点A.（0,2） B.（4,3）C.（4,2） D.（2,3）3．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）A.20 B.18C.16 D.144．在平面直角坐标系中，角与角项点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称，若，则（）A. B.C. D.5．若动点．分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为（）A. B.C. D.6．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（）A.8 B.16C.32 D.647．下列每组函数是同一函数的是（）A. B.C. D.8．已知函数f(x)=log3(x+1)，若f(a)=1，则a等于（）A.0 B.1C.2 D.39．下列命题中是真命题的是（）A.“”是“”的充分条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充要条件D.“”是“”的充要条件10．幂函数，当时为减函数，则实数的值为A.或2 B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式的解集为___________.12．用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈___________(填区间).13．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________14．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即.现在已知，则__________15．在中,边上的中垂线分别交于点若,则_______16．______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆：，（1）若过定点的直线与圆相切，求直线的方程；（2）若过定点且倾斜角为30°的直线与圆相交于，两点，求线段的中点的坐标；（3）问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由.18．如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.19．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断的单调性并用定义证明；（3）已知不等式恒成立，求实数的取值范围.20．已知是偶函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）判断的单调性；（不需要证明）（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.21．已知如图，在直三棱柱中，，且，是的中点，是的中点，点在直线上.（1）若为中点，求证：平面；（2）证明：

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】依题意不等式的解集为，即可得到且，再根据二次函数的性质计算在区间上的单调性，即可得到函数的最值；【题目详解】解：因为函数的定义域是，即不等式的解集为，所以且，即，所以，函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以，没有最大值；故选：A2、B【解题分析】根据指数型函数的性质，即可确定其定点.【题目详解】令得，所以，因此函数过点（4,3）.故选B【题目点拨】本题主要考查函数恒过定点的问题，熟记指数函数的性质即可，属于基础题型.3、C【解题分析】解方程，得或，作出的图象，由对称性只要作的部分，观察的图象与直线和直线的交点的个数即得【题目详解】,或根据函数解析式以及偶函数性质作图象，当时，.，是抛物线的一段，当，由的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y轴右侧的图象，根据对称轴可得左侧的结论，时，，的图象与直线和的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为，故选：C【题目点拨】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论4、A【解题分析】利用终边相同的角和诱导公式求解.【题目详解】因为角与角的终边关于y轴对称，所以，所以，故选：A5、C【解题分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值.【题目详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为.故选：C【题目点拨】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.6、C【解题分析】由斜二测画法知识得原图形底和高【题目详解】原图形中，，边上的高为，故面积为32故选：C7、C【解题分析】依次判断每组函数的定义域和对应法则是否相同，可得选项.【题目详解】A．的定义域为，的定义城为，定义域不同，故A错误；B．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错误；C．与的定义域都为，，对应法则相同，故C正确；D．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故D错误；故选：C【题目点拨】易错点睛：本题考查判断两个函数是否是同一函数，判断时，注意考虑函数的定义域和对应法则是否完全相同，属于基础题.8、C【解题分析】根据，解对数方程，直接得到答案.【题目详解】∵,∴a+1=3，∴a=2.故选：C.点睛】本题考查了解对数方程，属于基础题.9、B【解题分析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【题目详解】因为是集合A的子集，故“”是“”的必要条件，故选项A为假命题；当时，则，所以“”是“”的必要条件，故选项B为真命题；因为是上的减函数，所以当时，，故选项C为假命题；取，，但，故选项D为假命题.故选：B.10、C【解题分析】∵为幂函数，∴，即．解得：或．当时，，在上为减函数；当时，，在上为常数函数（舍去），∴使幂函数为上的减函数的实数的值．故选C.考点：幂函数的性质.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据对数函数的单调性解不等式即可.【题目详解】由题设，可得：，则，∴不等式解集为.故答案：.12、【解题分析】根据零点存在性定理判断零点所在区间.【题目详解】，，所以下一次计算可得.故答案为：13、【解题分析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体,体积为14、3【解题分析】由将对数转化为指数15、4【解题分析】设，则，，又，即，故答案为.16、【解题分析】由指数和对数运算法则直接计算即可.【题目详解】.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）（3）存在，或【解题分析】（1）首先设直线的方程为：，与圆的方程联立，令，即可求解的值；（2）设直线的方程为：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示中点坐标；（3）方法一，设直线：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解；方法二，设圆系方程，利用圆心在直线，以及圆经过原点，即可求解参数.【小问1详解】根据题意，设直线的方程为：联立直线与圆的方程并整理得：所以，，从而，直线的方程为：或；【小问2详解】根据题意，设直线的方程为：代入圆方程得：，显然，设，，则，所以点的坐标为【小问3详解】假设存在这样的直线：联立圆的方程并整理得：当设，，则，所以因为以为直径的圆经过原点，所以，，∴，即均满足.∴，所以直线的方程为：或.（3）法二：可以设圆系方程则圆心坐标，圆心在直线上，得①且该圆过原点，得②由①②，求得或所以直线的方程为：或.18、（1）证明略（2）【解题分析】（Ⅰ）要证平面，由已知平面，已经有，因此在直角梯形中证明即可，通过计算得，而是中点，则有；（Ⅱ）PB与平面ABCD所成的角是，下面关键是作出PB与平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分别与相交于，连接，则是PB与平面PAE所成的角，由这两个角相等，可得，同样在直角梯形中可计算出，也即四棱锥P-ABCD的高，体积可得．另外也可建立空间直角坐标系，通过空间向量法求得结论，第（Ⅱ）小题中关键是求点的坐标，注意这里直线与平面所成的角相等转化为直线与平面的法向量的夹角相等试题解析：解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，是的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE（Ⅱ）过点Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是为直线ＰＢ与平面PAE所成的角，且由知，为直线与平面所成的角由题意，知因为所以由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系．设则相关的各点坐标为：（Ⅰ）易知因为所以而是平面内的两条相交直线，所以（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，由故解得又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为.考点：线面垂直的判断，棱锥的体积19、（1）；（2）减函数，证明见解析；（3）.【解题分析】（1）根据可求的值，注意检验.（2）利用增函数的定义可证明在上是减函数.（3）利用函数的奇偶性和单调性可把原不等式化为，利用对数函数的性质可求的取值范围.【题目详解】（1）是上的奇函数，，得，此时，，故为奇函数，所以.（2）为减函数，证明如下：设是上任意两个实数，且，，，，即，，，，即，在上是减函数.（3）不等式恒成立，.是奇函数，，即不等式恒成立又在上是减函数，不等式恒成立，当时，得，.当时，得，.综上，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了应用对数函数单调性解与对数有关的不等式，涉及了指数函数与对数函数的图象与性质，体现了转化思想在解题中的运用.20、（1），（2）单调递增（3）【解题分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；（2）根据指数函数的单调性即可判断的单调性；（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围【小问1详解】解：因为是偶函数，所以，即，则，即，所以，即，解得若是奇函数，又定义域为，则，即，解得；【小问2详解】解：因为，所以，因为函数单调递增，函数单调递减，所以单调递增；小问3详解】解：由（2）知单调递增；则不等式在上恒成立，等价为在上恒成立，即在上恒成立，则，设，则在上单调递增，∴，则，所以实数的取值范围是．21、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】（1）取中点为，连接，，首先说明四边形是平行四边形，即可得，根据线面平行判定定理即可得