广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

2023-2024学年第一学期九年级第一次学业评价数学一、单选题1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.将一元二次方程化成的形式，则的值为（）A.-2 B.2 C.3 D.43.若方程无实数根，则实数的值不可能是（）A.4 B.5 C.6 D.74.如果二次三项式能分解成的形式，则方程的两个根为（）A.， B.；C.； D.；5.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（）A.3 B.-3 C.1 D.-16.某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（）A. B. C. D.7.下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A.对边平行且相等 B.对角线互相平分C.每条对角线平分一组对角 D.对角互补8.如图，矩形的顶点，分别在菱形的边和对角线上，连接，，若，则的长为（）A. B. C.3 D.49.数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的对角线长为（）A.8cm B. C. D.16cm10.某企业2021年初投资100万元生产畅销产品，2021年底将获得的利润与年初的投资的和作为2022年初的投资，到2022年底，两年共获利润56万元.已知2022年的年获利率比2021年的获利率多10个百分点.如果设2021年的获利率是，那么下列所列出的方程中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题11.将方程化成一元二次方程的一般形式后，其中一次项系数是__________.12.如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，，，则四边形EFGH是__________.13.已知，，是方程的两个实数根，则的值是__________.14.如图，平面直角坐标系中，点，点，点D为AB的中点，以点O为圆心，OD长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则C点的坐标为__________.15.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…记正方形ABCD的边为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，根据以上规律写出的表达式__________.三、解答题16.解方程.17.某校准备从2名男生（A、B）和3名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”.如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率.18.如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，.若平分，，，求的长度.19.已知关于的方程.（1）取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值.20.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作，垂足为H，连接AF.（1）求证：；（2）若，，当时，求的度数.21.如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，.（1）证明：四边形是菱形；（2）在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积.22.有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪.（1）如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路.①请写出两条小路的面积之和____________（用含、的代数式表示）；②若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？（2）如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（，为常数），若，，且草坪的总面积为120平方米，求的值.23.等腰的直角边，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，的面积为S.（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，？（3）作于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.24.如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点，Q分别在边和上，且.（1）如图1，若点是中点.①当点P和点A重合时，画出图形，求的长，并说明理由.②设，.请探究m，n之间的关系.（2）如图2，，连接，，若，，求的长.（3）如图3，若点是中点，连接，.请直接写出所有情形下的最小值=_______.2023-2024学年上学期九年级第（一）次学业评价答案与评分标准一、单选题（每题3分共30分）1--5.CDABA6--10BCCBD二、填空题（每题3分共15分）11.-712.正方形.13.203914.15.三、解答题16.解：∴，17.解：选择两名学生参加竞赛，选择方式如下：∴共有20种等可能的结果，其中2名都是女生的结果有6种，∴P（两名女生），∴恰好选中2名女生的概率是.18.解：∵四边形是平行四边形，∴，，又∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形.∵平分，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴在矩形中，，，∴∴在中，.19.（1）解：，∵当，方程有两个实数根，∴，解得：，∴当时，方程有两个实数根；（2）解：由，①当时，，∴方程有两个相等实数根，∴，即，∴.又当时，有，∴符合条件；②当时，得，∴，由根与系数关系得，∴，由（1）知，与当矛盾，∴舍去，综上可得，.20.（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵在矩形中，，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴.21.（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵是线段的垂直平分线，∴，，在和中，，∴，∴，即∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；（2）解：由（1）得：四边形是菱形，，∴，，，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴四边形的面积.22.（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米，②根据题意，得，又∵，∴，∴原方程化为，解得（不符合题意，舍去），，∴（米），答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米；（2）解：根据题意，得，整理得，∵，为正整数，∴是正整数且是30的约数，是正整数且是30的约数，当时，，∴，，∴；当时，，∴，，∴；当时，，∴，，∴，综上所述，或10.23.解：（1）当秒时，P在线段AB上，此时，，∴，当秒时，P在线段AB得延长线上，此时，，∴.（2）∵，∴当秒时，，整理得，此方程无解，当秒时，，整理得，解得（舍去负值），∴当点P运动秒时，.（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.证明：过Q作，交直线AC于点M，易证，∴，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半.又∵，∴∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.同理，当点P在点B右侧时，.综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.24.（1）解：①如图，∵四边形是正方形∴，∵，∴，∴，∵是中点，∴.∴.②当时，如图，过点作于点∵∴四边形是矩形，∴，，同（1）可得∴，∴.当时，如图，同理可得