高中数学同步练习课时分层作业13等比数列前n项和的性质及应用

课时分层作业(十三)等比数列前n项和的性质及应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．等比数列{a}的前n项和为S,且4a2a,a成等差数列．若2a＝1,则S等于()14nn1,3A．7B．8C．15D．16C[由题意得4a＝4a＋a,∴4(aq)＝4a＋a·q2,1213111·1－21－24∴q＝2,∴S＝＝15.]42．已知等比数列{a}的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于()n1A.B．1C．2D．42C[S＝1,S＝9,63∴S－S＝8＝a＋a＋a＝q3(S)＝q3,∴q3＝8,∴q＝2.]5634633．在等比数列{a}中,已知a＝3,a＝48,S＝93,则n的值为()nn1nA．4B．5C．6D．7a－aq3－48qB[显然q≠1,由S＝,得93＝,解得q＝2.1n1－q1－qn由a＝aqn－1,得48＝3×2n－1,解得n＝5.1n故选B.]4．设数列{x}满足logx＝1＋logx(n∈N*),且x＋x＋…＋x＝10,记{x}的前n项和为S,则Snn2n＋12n1210n20等于()A．1025B．C[∵logx＝1＋logx＝log(2x),∴x＝2x,且x>0,∴{x}为等比数列,且公比q＝2,1024C．10250D．202402n＋12n2nn＋1nnn∴S＝S＋q10S＝10＋210×10＝10250,102010故选C.]5．已知等比数列{a}的首项为8,S是其前n项的和n,某同学经计算得S＝8,S＝20,S＝36,S＝65,后2n134来该同学发现其中一个数算错了,则该数为()A．SB．SC．SD．S3124C[由题知S正确．1若S错误,则S,S正确,于是a＝8,a＝S－S＝12,a＝S－S＝16,与{a}为等比数列矛盾,故S＝65.3423122132n43若S错误,则S正确,此时,a＝8,a＝12,得q＝,a＝18,a＝27,S＝65,满足题设,故选C.]23212344二、填空题6．在数列{a}中,a＝ca(c为非零常数),且前n项和为S＝3n＋k,则实数k＝________.nnn＋1n－1[由a＝ca知数列{a}为等比数列．nn＋1n又∵S＝3＋k,由等比数列前n项和的特点知k＝－1.]nn7．等比数列{a}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q＝________.n2[设{a}的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a,n1a1－q2nS＝,2n11－qa[1－q]2nS＝.11－q2奇a1－q3a1－q2n2n由题意得＝.111－q1－q2∴1＋q＝3,∴q＝2.]8．数列11,103,1005,10007,…的前n项和S＝________.n109(10n－1)＋n2[数列的通项公式a＝10n＋(2n－1)．n所以S＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝n101－10nn1＋2n－110＋＝9(10n－1)＋n2.]1－102三、解答题9．在等比数列{a}中,已知S＝13S,S＋S＝140,求S的值．10n30103020[解]∵S≠3S,∴q≠1.3010S＝13S，S＝10，10由3010得S＋S＝140，S＝130，301030a1－q10＝10，11－q∴a1－q30＝130，1－q1∴q20＋q10－12＝0,∴q10＝3,a1－q20∴S＝＝S(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.11－q201010．在等差数列{a}中,a＝4,a＋a＝15.4n27(1)求数列{a}的通项公式；n(2)设b＝2a－2＋n,求b＋b＋b＋…＋b的值．2nn1310[解](1)设等差数列{a}的公差为d.na＋d＝4，1a＋3d＋a＋6d＝15，由已知得11a＝3，所以a＝a＋(n－1)d＝n＋2.d＝1.n1解得1(2)由(1)可得b＝2n＋n,n所以b＋b＋b＋…＋3b＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)1012＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)21－21＋10×1010＝＋1－22＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.[能力提升练]1．在各项都为正数的数列{a}中,首项a＝2,且点(a,a2)在直线x－9y＝0上,则数列{a}的前n项和2n1nn－1nS等于()n1－－3n2A．3n－1B.D.1＋3n3n2＋n2C.2A[由点(a2,a2)在直线x－9y＝0上,得a－9a2＝0,即(a＋3a)(a－3a)＝0,又数列{a}各项均2nn－1nn－1nn－1nn－1na为正数,且a＝2,∴a＋3a＞0,∴a－3a＝0,即an＝3,∴数列{a}是首项a＝2,公比q＝3的等比数列,1nn－1nn－1n1n－1a1－q2×3－1nn其前n项和S＝＝＝3n－1.]11－q3－1nS＋S＋…＋S2．设数列{a}的前n项和为S,称T＝为数列a,a,a,…,a的“理想数”,已知数列212nnnnn13na,a,a,a,a的理想数为2014,则数列2,a,a,…,a的“理想数”为()11234525A．1673B．16755035C.35041D.3S＋S＋S＋S＋S4D[因为数列a,a,…,a的“理想数”为2014,所以1＝2014,即S＋S＋S＋S＋123423551252＋2＋S＋2＋S＋…＋62＋S5S＝5×2014,所以数列2,a,a,…,a的“理想数”为2125156×2＋5×20145041＝6＝.]33．设数列1,(1＋2),…,(1＋2＋22＋…＋2n－1),…的前n项和为S,则S＝________.nn1－2n2n＋1－n－2[因为a＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1,1－2n21－21－2n所以S＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]n34．已知首项为的等比数列{a}不是递减数列,其前n项和为S(n∈N*),且S＋a,S＋a,S＋a成等差2nn335544数列,则a＝________.n3(－1)n－1×2[设等比数列{a}的公比为q,由S＋a,S＋a,S＋a成等差数列,所以S＋a－S－a＝nn3355445533a1S＋a－S－a,即4a＝a,于是q2＝＝5.a4445553331又{a}不是递减数列且a＝,所以q＝－.22n1故等比数列{a}的通项公式为n31a＝×－＝n－1(－1)n－1×2.]223nn5．已知{a}是等差数列,{b}是等比数列,且b＝3,b＝9,a＝b,a＝b.1nn231144(1)求{a}的通项公式；n(2)设c＝a＋b,求数列{c}的前n项和．nnnn[解](1)设数列{a}的公差为d,{b}的公比为q,nnb＝bq＝3，b＝1，1由21得b＝bq2＝9q＝3.31∴{b}的通项公式b＝bqn－1＝3n－1,1nn又a＝b＝1,a＝b＝34－1＝27,14114∴1＋(14－1)d＝27,解得d＝2.∴{a}的通项公式a＝a＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n