统考版2023高考数学二轮专题复习第一篇核心价值引领培素养稳得分引领一素养导向五育并举理

引领一素养导向五育并举导向一用数学的眼光观察世界素养1数学抽象“数学抽象”素养的考查重点是学生在各种情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系的能力，在日常生活和实践中善于一般性思考问题，把握事物的本质、以简驭繁，运用数学思想方法解决问题的思维品质．数学抽象的具体表现包括：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．例1.[2022·新高考Ⅰ卷]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，PBAPBA(ⅰ)证明：R＝PABP(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．附：K2＝nad-bcP(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828价值引领[素养]数学抽象、直观想象、逻辑推理．[五育]培养学生尊重知识，热爱科学，用所学知识解决实际问题．真题互鉴1.[2021·新高考Ⅱ卷]一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．[说明]主要考查了数学抽象、直观想象、逻辑推理的素养，培养了学生尊重科学、热爱科学、用所学知识解决问题．素养2直观想象“直观想象”素养的考查重点是学生运用图形和空间想象思考问题、运用数形结合解决问题的能力；通过几何直观洞察表面现象的数学结构与联系，抓住事物的本质的思维品质．直观想象素养的具体表现包括：建立形与数的联系、利用几何图形描述问题、借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物．例2.[2022·新高考Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)()A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3价值引领[素养]直观想象、数学运算．[五育]引导学生关注社会主义建设的成果，增强社会责任感．真题互鉴2．[2021·全国乙卷]魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”．则海岛的高AB＝()A．表高×表距表目距的差B．表高×表距表目距的差C．表高×表距表目距的差D．表高×表距表目距的差3．[2020·新高考Ⅰ卷]日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°[说明]此两题展现了我国古代文明，历史上的辉煌成就，提倡文化自信及生活之美教育．导向二用数学的思维分析世界素养3逻辑推理“逻辑推理”素养的考查重点是学生运用逻辑推理的基本形式，提出和论证命题、理解事物之间的关联、把握知识结构的能力；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质．逻辑推理素养涉及的行为表现包括：发现问题和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证过程、理解命题体系、有逻辑地进行表达与交流．例3.[2022·全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．[听课记录]价值引领[素养]逻辑推理、数学运算．[五育]与社会热点相结合，体现了劳动教育．真题互鉴4.[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种[说明]此题考查了逻辑推理、数学运算的素养，与社会热点相结合，体现了劳动教育．素养4数学运算“数学运算”虽然是传统的数学三大能力之一，但作为数学核心素养的数学运算不仅要考查学生的运算基本功，更重要的是考查学生有效借助运算方法解决实际问题的能力．通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的数学思维品质，其具体表现包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、形成程序化思维．例4[2022·全国甲卷]当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋bx取得最大值－2，则f′(2)＝(A．－1B．－1C．12D．价值引领[素养]数学运算．[五育]热爱学习，提升基本运算能力．真题互鉴5.[2021·全国甲卷]曲线y＝2x-1x+2在点(－1，－3)处的切线方程为________6．[2020·全国卷Ⅰ]已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A．53B．C．13D．[说明]此两题是用数学基本知识进行运算，解决数学问题．导向三用数学的语言表达世界素养5数学建模“数学建模”的考查重点是学生用数学模型解决实际问题，其中涉及数学建模的完整过程，即在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．由于在常规的纸笔测试中较难反映数学建模的完整过程，因此，在编制考查数学建模的测试题时，通常依据数学建模的各个环节来命题．如设置一个实际情境，重点考查学生发现和提出合适的数学问题的能力，或者给定一个初步的数学模型，要求学生依据实际情况对模型进行修正等．例5[2022·新高考Ⅱ卷]图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知kA．0.75B．0.8C．0.85D．0.9[听课记录]价值引领[素养]数学建模、数学运算．[五育]感受中国古代文化，让学生领略中华民族的智慧，增强民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感．真题互鉴7.[2021·新高考Ⅱ卷]卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离)，把地球看成一个球心为O，半径为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积S＝2πr2(1－cosα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比为()A．26%B．34%C．42%D．50%8．[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天[说明]此两题旨在用数学建模解决现实生活问题．素养6数据分析“数据分析”核心素养的考查重点是学生基于数据表达现实问题、运用合适的统计方法进行推断和决策的能力，形成通过数据认识事物的思维品质．其具体表现包括：收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识．例6[2022·全国乙卷]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝0.038，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝1.6158，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(1.896)≈1.377.[听课记录]价值引领[素养]数据分析、数学运算．[五育]热爱科学，保护环境．使用所学数学知识解决实际问题．真题互鉴9.[2021·全国甲卷]为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间10．[2020·全国卷Ⅱ]某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(2)≈1.414.[说明]此两题具有现实意义，了解农村经济情况，治理沙漠，保护环境及野生动物，进行调查统计．引领一素养导向五育并举导向一素养1[例1]解析：(1)由题意，得K2＝200×40×90-60×102100×100×50×150∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．(2)(ⅰ)证明：∵PBAPBAPBAPBA＝PBAPBPABPAB·PABPAB＝PABPB·P∴R＝PABP(ⅱ)由表格中的数据，得P(A|B)＝40100＝25，P(A|B)＝10100∴P(A|B)＝1－P(A|B)＝35P(A|B)＝1－P(A|B)＝910∴R＝PABPAB·真题互鉴1．解析：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)证明：设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0.f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(－∞，x1)∪x2，+∞时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数，若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)为增函数且f(1)＝0，而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上为减函数，故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，若x2>1，因为f(1)＝0且在(0，x2)上为减函数，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，综上，若E(X)≤1，则p＝1.若E(X)>1，则p1＋2p2＋3p3>1，故p2＋2p3>p0.此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0>0，故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0<x4<1，且x∈(－∞，x3)∪x4，+∞时，f′(x)>0；x∈(x3，x4)时，f′(故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上为增函数，在(x3，x4)上为减函数，而f(1)＝0，故f(x4)<0，又因为f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p，且p<1.所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p<1，故当E(X)>1时，p<1.(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.素养2[例2]解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为13×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋140×106×180×106)＝3×106×140+180+607≈3×106×(140答案：C真题互鉴2．解析：因为FG∥AB，所以FGAB＝GCCA，所以GC＝FGAB·CA.因为DE∥AB，所以DEAB＝EHAH，所以EH＝DEAB·AH.又因为DE＝FG，所以GC－EH＝DEAB(CA－AH)＝DEAB×HC＝DEAB×(HG＋GC)＝DEAB×(EG－EH＋GC)．由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差＝表高AB×(表距＋表目距的差)，所以答案：A3．解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.答案：B导向二素养3[例3]解析：从5名同学中随机选3名参加社区服务工作，共有C53＝10(种)选法，甲、乙都入选有C31＝3(种)选法．根据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率答案：3真题互鉴4．解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法．故满足题意的分配方案共有C52·答案：C素养4[例4]解析：由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax-bx2＝ax-bx2.又当x＝1时，f(x)取得最大值－2，所以a＜0，f'1=0，f1=-2，即a＜0，a-b=0，b=-2，所以a＝b＝－2答案：B真题互鉴5．解析：因为y＝2x-1x+2，所以y′＝2x+2-2x-1x+22＝5x+22.当x＝－1时，y＝－3，y′＝5，所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即答案：5x－y＋2＝06．解析：由3cos2α－8cosα＝5，得3cos2α－4cosα－4＝0，所以cosα＝－23或cosα＝2(舍去)，因为α∈(0，π)，所以sinα＝53答案：A导向三素养5[例5]解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+答案：D真题互鉴7．解析：如图，作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直截面，则OB＝36000＋6400＝42400，cosα＝640042400＝8S占地球表面积的百分比为2πr21-cos答案：C8．解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.若It1=e0.38t1，It2=e0.38t2，It2=2It1，则e答案：B素养6[例6]解析：(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积x＝0.610＝0.06(m2)平均一棵的材积量y＝3.910＝0.39(m3)(2)由题意，得(xi-x̅)2＝xi2-10x(yi-y̅)2＝yi2-10y(xi-x̅)(yi－y)＝xiyi-10x所以相关系数r＝0.01340.002×0.0948＝0.01341.896×0.0001≈0.0134(3)因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以比例系数k＝yx＝0.39