第7章数字滤波器设计课件

7.1数字滤波器的分类 数字滤波器是具有一定选择特性的数字信号处理系统（物理装置或软件算法）。按照不同的分类方法，可以对数字滤波器进行多种分类。此处首先介绍一种最重要的分类方法，所得到的概念不仅是数字滤波器的最基本和最重要的概念，而且是数字滤波器设计的理论基础。 数字滤波器是离散时间系统，其系统函数（或称为传递函数）一般可以表示为有理函数的形式：此处不失一般性，令a0=1，称为归一化。7.1数字滤波器的分类 数字滤波器是具有一定选择特性的数字1（1）FIR数字滤波器 如果其余系数ai全为零，则此时数字滤波器的系统函数为： 对此式作z反变换，可得相应的单位脉冲响应函数h(n)为有限长度的脉冲序列： 称此类数字滤波器为有限脉冲响应数字滤波器（FiniteImpulseResponseDigitalFilter），简称FIR数字滤波器。（1）FIR数字滤波器 如果其余系数ai全为零，则此时数字滤2（2）IIR数字滤波器 如果其余系数ai不全为零，此处以最简单的情况为例，设a1=-1，且设b0=1，其余系数ai和bi全为零，则此时数字滤波器的系统函数为： 对此式作z反变换，可得相应的单位脉冲响应函数h(n)为无限长度的脉冲序列： 称此类数字滤波器为无限脉冲响应数字滤波器（InfiniteImpulseResponseDigitalFilter），简称IIR数字滤波器。（2）IIR数字滤波器 如果其余系数ai不全为零，此处以最简3例1：已知某数字滤波器的差分方程为即该离散时间系统的输出序列y(n)是当前时刻的输入序列x(n)与前一时刻的输入序列x(n-1)的两点加权平均值（也称为输入序列的两点移动加权平均值），其中b0和b1为加权平均系数。试求该系统的单位脉冲响应序列h(n)。解：对差分方程的两边取（单边）z变换，得进而得数字滤波器的传递函数为对上式取z反变换，可得该数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)为显然，此h(n)为有限长序列，此系统为FIR系统。例1：已知某数字滤波器的差分方程为即该离散时间系统的输出序列4该FIR系统的频率特性（频率响应）：b0=0.5;b1=0.5;num=[b0b1];den=1;freqz(num,den);由图可见：（1）该系统的幅频特性具有低通滤波的特性。（2）该系统没有极点，或者可以认为极点在原点处，所以系统总是稳定的。（3）当b0=0.5，b1=0.5时，具有线性相位。该FIR系统的频率特性（频率响应）：b0=0.5;由图可见：5该FIR系统的实现：非递归（开环，无反馈）。 从该FIR系统的差分方程为可知，这种滤波器的输出y(n)只与当前时刻的输入x(n)以及过去时刻的输入x(n-1)有关，而与过去时刻的输出无关。所以，该FIR系统通常采用非递归的结构形式来实现。可以证明，FIR数字滤波器具有严格线性相位的充要条件是其单位脉冲响应序列h(n)为偶对称，即h(n)=h(N-1-n)，即n=(N–1)/2是h(n)的偶对称中心。该FIR系统的实现：非递归（开环，无反馈）。可以证明，FIR6例2：已知某数字滤波器的差分方程为即该离散时间系统的输出序列y(n)不仅与当前时刻的输入序列x(n)有关，而且与前一时刻的输出序列y(n-1)也有关，其中a和b为系数。试求该系统的单位脉冲响应序列h(n)。解：对差分方程的两边取（单边）z变换，得进而得数字滤波器的传递函数为对上式取z反变换，可得该数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)为显然，此h(n)为无限长序列，此系统为IIR系统。例2：已知某数字滤波器的差分方程为即该离散时间系统的输出序列7该IIR系统的频率特性（频率响应）：b=0.5;a=0.5;num=b;den=[1-a];freqz(num,den);由图可见：（1）该系统的幅频特性具有低通滤波的特性。（2）当a<1时，极点z=a位于单位圆以内，系统稳定。（3）稳定的系统具有非线性相位。该IIR系统的频率特性（频率响应）：b=0.5;由图可见：8该IIR系统的实现：递归（闭环，有反馈）。 从该IIR系统的差分方程为可知，这种滤波器的输出y(n)不仅与当前时刻的输入x(n)有关，而且与前一时刻的输出y(n-1)也有关。所以，该IIR系统通常采用递归的结构形式来实现。该IIR系统的实现：递归（闭环，有反馈）。97.2数字滤波器的设计原理 数字滤波器是一种具有频率选择性的离散时间线性时不变系统，即选频滤波器。许多信息处理过程，例如信号的过滤、检测、预测等都要用到滤波器。数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是，将一组输入的数字序列，通过一定的运算后，转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器的设计，就是确定其系统函数（传递函数）并实现的过程。7.2数字滤波器的设计原理 数字滤波器是一种具有频率选择性107.2.1数字滤波器的基本设计步骤（1）按照实际需要确定滤波器的性能指标。（2）用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求，求出H(z)或h(n)。根据不同要求，可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。（3）利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构（例如级联型、并联型等），选择合适的字长（包括系数的量化，输入变量、中间变量和输出变量的量化），以及选择有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。（4）采用适当的软件和硬件技术来实现。包括可以采用通用计算机软件或数字滤波器硬件来实现，或者采用二者结合的方法来实现。7.2.1数字滤波器的基本设计步骤（1）按照实际需要确定滤117.2.2数字滤波器的基本设计思想（1） 确定数字滤波器的传递函数H(z)的过程，称为数字滤波器设计。（2） 在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传递函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。（3）在设计数字传递函数H(z)之前，有两个关键的问题需要考虑： ①分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标。 ②确定所设计的滤波器是FIR数字滤波器，还是IIR数字滤波器。7.2.2数字滤波器的基本设计思想（1） 确定数字滤波器的127.2.3数字滤波器的基本性能指标符号规则说明： 在数字信号处理中，为了书写方便起见，原来用大写希腊字母表示的数字频率Ω，现在用小写希腊字母ω来表示。而模拟频率却用大写希腊字母Ω表示。（1）理想滤波器的幅频响应 理想滤波器的单位脉冲响应是非因果、无限长序列，在物理上无法实现。现实中，需要指定可接受的误差容限，并且在通带和阻带之间指定一个过渡带。7.2.3数字滤波器的基本性能指标符号规则说明：13说明：①前面已经证明，数字频率ω具有周期性，且最小周期为2π。②数字滤波器与模拟滤波器相似，根据幅频响应的特性也可以分为低通、高通、带通、带阻等类型。③与模拟滤波器不同之处是，数字滤波器是离散系统，其幅频特性|H(ejω)|是以2π为周期的周期函数。因为实数序列的离散时间傅里叶变换为偶函数，所以数字低通、高通、带通、带阻等幅频特性都是指数字角频率在ω=0~π的频率范围之内而言的。在一般情况下，ω=0为最低数字角频率，ω=π为最高数字角频率。说明：14（2）实际低通数字滤波器的典型幅频响应性能指标（2）实际低通数字滤波器的典型幅频响应性能指标15数字滤波器指标：通带：0

p阻带：

s

p:通带截止频率(passbandedgefrequency)

s:阻带截止频率(stopbandedgefrequency)

p:通带波纹(peakripplevalueinthepassband)

s:阻带波纹(peakripplevalueinthestopband)数字滤波器指标：通带：0p阻带：s16

p:峰值通带波纹（Peakpassbandripple）

s:最小阻带衰减（Minimumstopbandattenuation）损益函数（lossfunction）：p:峰值通带波纹（Peakpassbandripple17（3）归一化的（normalizedform）低通数字滤波器的典型幅频响应性能指标（3）归一化的（normalizedform）低通数字滤波18通带幅度的最大值设定为1。最大通带波纹(maximumpassbanddeviation):最大阻带波纹(maximumstopbandmagnitude):最大通带衰减(maximumpassbandattenuation):通带幅度的最大值设定为1。19 数字滤波器设计，需要将以Hz为单位的截止频率，按归一化角频率来设计，需要做如下计算： 设FT为采样频率（Hz），Fp和Fs分别为通带和阻带的截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：例：设FT=25kHz,Fp=7kHz,Fs=3kHz,则归一化截止角频率为（rad）： 数字滤波器设计，需要将以Hz为单位的截止频率，按归一化角频207.3IIR数字滤波器设计IIR数字滤波器的基本设计思想： 将IIR数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，设计出该模拟滤波器，然后再将其转换成IIR数字滤波器。7.3IIR数字滤波器设计IIR数字滤波器的基本设计思想：217.3.1IIR数字滤波器的设计原理7.3.1.1IIR数字滤波器的设计步骤（1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。（2）用一个因果稳定系统的H(z)或h(n)去逼近这个性能要求。（3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。7.3.1IIR数字滤波器的设计原理7.3.1.1IIR227.3.1.2IIR数字滤波器的设计方法（1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。（2）由于模拟滤波器的设计理论已经发展得很成熟，模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确，可以将这些理论推广到数字滤波器的设计，作为设计数字滤波器的工具。（3）因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。7.3.1.2IIR数字滤波器的设计方法237.3.1.2根据模拟滤波器设计IIR滤波器的原则 利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数H(s)出发，设计数字滤波器的传递函数H(z)，这归根到底是一个由s平面到z平面的映射，这种映射应当遵循两个基本原则：（1）H(z)的频响要能模仿H(s)的频响，即s平面的虚轴应当映射到z平面的单位圆上。（2）H(s)的因果性和稳定性应当在映射成H(z)之后保持不变，即s平面的左半平面Re{s}＜0应当映射到z平面的单位圆以内|z|<1。7.3.1.2根据模拟滤波器设计IIR滤波器的原则24下面介绍IIR数字滤波器设计的两种常用的映射方法：（1）脉冲响应不变法(ImpulseInvarianceMethod)（2）双线性变换法(BilinearTransformMethodorTustin'sMethod)所对应的MATLABFunction分别为：（1）Function:impinvarDescription:Impulseinvariancemethodforanalog-to-digitalfilterconversion.（2）Function:bilinearDescription:Bilineartransformmethodforanalog-to-digitalfilterconversion.具体使用方法参见：MATLABSignalProcessingToolboxFilterDiscretization下面介绍IIR数字滤波器设计的两种常用的映射方法：257.3.2脉冲响应不变法 采用模拟滤波器的理论设计数字滤波器，就是使数字滤波器能够“模仿”模拟滤波器的特性。这种“模仿”可从不同的角度出发。 脉冲响应不变法就是从滤波器的单位脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的单位脉冲响应h(t)的采样值，即h(n)=h(t)|t=nT，其中T为采样周期。

下图为脉冲响应不变法的原理图。 以H(s)和H(z)分别表示h(t)的拉氏变换和h(n)的z变换，即H(s)=L[h(t)]，H(z)=Z[h(n)]，下面举例说明如何从H(s)推导和计算出H(z)。7.3.2脉冲响应不变法 采用模拟滤波器的理论设计数字滤波26脉冲响应不变法的原理：数字滤波器的单位脉冲响应序列是模拟滤波器的单位脉冲响应函数的采样值。(ILT)(Sample)(ZT)H(s)→→→h(t)→→→h(n)→→→H(z)脉冲响应不变法的原理：数字滤波器的单位脉冲响应序列是模拟滤波27 不失一般性，设具有单极点的模拟滤波器的传递函数H(s)为显然此H(s)的极点为s=-a。 下面推导脉冲响应不变法的映射规律。 对H(s)进行拉氏反变换，得模拟滤波器的单位脉冲响应函数为 以采样间隔T对h(t)进行等间隔采样，得数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)为 不失一般性，设具有单极点的模拟滤波器的传递函数H(s)为显28显然此H(z)的极点为z=e-aT。 考察H(s)的极点与H(z)的极点的映射关系，可得脉冲响应不变法的映射规律，就是将s平面的极点s=-a映射到z平面的极点z=e-aT。该映射关系就是从拉氏变换到z变换的映射关系：z=esT 本例中的极点： 对h(n)进行z变换，得数字滤波器的传递函数H(z)为显然此H(z)的极点为z=e-aT。 对h(n)进行z变换，29说明1：从上述的推导过程可以看到，s平面的极点s=-a映射到z平面的极点是z=e-aT，而H(s)与H(z)中的部分分式所对应的分子部分的系数不变。但应当注意，只有将H(s)表示为部分分式形式时，这种从H(s)到H(z)的对应变换关系才成立。说明2：稳定性分析。如果模拟滤波器H(s)是稳定的，则所有极点p都应当在s平面的左半平面，即Re[p]<0，进而可得|epT|<1，所以变换后的数字滤波器H(z)的极点epT也都在单位圆以内，因此数字滤波器H(z)是稳定的。说明1：从上述的推导过程可以看到，s平面的极点s=-a映射到30说明3：脉冲响应不变法的映射规律只考虑极点的映射，并没有考虑零点的映射。或者可以说，零点的映射没有规律。 虽然脉冲响应不变法能保证s平面与z平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个s平面与z平面就存在着这种一一对应的关系。特别是数字滤波器H(z)的零点位置与s平面上的零点没有一一对应关系，而是随着H(s)的极点p与系数b的不同而不同。说明3：脉冲响应不变法的映射规律只考虑极点的映射，并没有考虑31说明4：采用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器，即将模拟滤波器H(s)转换为数字滤波器H(z)所完成的从s平面到z平面的极点的映射关系，就是从拉氏变换到z变换的映射关系。说明4：采用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器，即将模拟滤波32s平面，采样间隔为Tz平面s平面，采样间隔为Tz平面33映射关系z=esT的规律：（1）s平面内每一条宽为2π/T的横带部分，都将重叠地映射到z平面的整个平面上。（2）每一条横带的左半部分，映射到z平面的单位圆以内。（3）每一条横带的右半部分，映射到z平面的单位圆以外。（4）虚轴映射到单位圆上。（5）虚轴上每一段2π/T都对应于绕单位圆一周。映射关系z=esT的规律：34例3：采用脉冲响应不变法设计数字滤波器H(z)，已知所对应的模拟低通滤波器的传递函数H(s)为解：将传递函数H(s)分解为部分分式之和该系统有两个极点：s1=-1,s2=-3 对上式进行拉氏反变换，得模拟低通滤波器的单位脉冲响应函数为例3：采用脉冲响应不变法设计数字滤波器H(z)，已知所对应的35 对上式进行z变换，得数字低通滤波器的传递函数H(z)为 根据脉冲响应不变法的基本原理，以采样间隔T对h(t)进行等间隔采样，得数字低通滤波器的单位脉冲响应序列h(n)为该系统的两个极点分别为：z1=e-T，z2=e-3T从以上推导还可以看出，零点的映射没有规律。 对上式进行z变换，得数字低通滤波器的传递函数H(z)为 根36 模拟滤波器和所对应的数字滤波器的频率特性的表达式和图形分别如下所示。显然从图中可以看出，数字滤波器的频率特性与采样间隔T有关。如果采样间隔T越小，即采样频率fs越大，则频率特性的衰减就越大，那么频谱的混叠就越小。 模拟滤波器和所对应的数字滤波器的频率特性的表达式和图形分别37第7章数字滤波器设计课件38第7章数字滤波器设计课件39第7章数字滤波器设计课件40 下面对模拟低通滤波器H(s)与数字低通滤波器H(z)的频率特性进行比较，进而分析用于IIR数字滤波器设计的脉冲响应不变法的特点。 从例3可以看出，任何一个实际的模拟滤波器H(s)，其频率特性都不可能真正是带限的。所以，采用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器H(z)，不可避免地存在着频谱混叠的情况，如下图所示。这时，数字滤波器H(z)的频率特性将不同于原来的模拟滤波器H(s)的频率特性，而是具有一定的失真。 如果模拟滤波器H(s)的频率特性在折叠频率的以上部分衰减得越大，则数字滤波器H(z)的频率特性的失真就会越小。这时，采用脉冲响应不变法所设计的IIR数字滤波器才能得到比较的效果。 下面对模拟低通滤波器H(s)与数字低通滤波器H(z)的频率41脉冲响应不变法中的频谱混叠脉冲响应不变法中的频谱混叠42 这时，数字滤波器H(z)的频率特性才能不失真地重现模拟滤波器H(s)的频率特性（存在于折叠频率ΩS/2以内） 正如采样定理所讨论的，如果模拟滤波器H(s)的频率特性带限于折叠频率ΩS/2以内，即 这时，数字滤波器H(z)的频率特性才能不失真地重现模拟滤波43采用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器总结：（1）脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，即ω＝ΩΤ，其中ω与Ω是线性关系。因此，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。例如，线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍然是线性相位的低通数字滤波器。（2）在某些场合，要求数字滤波器在时域上能够模仿模拟滤波器的功能时，例如要实现时域脉冲响应的模仿，一般采用脉冲响应不变法。采用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器总结：44（3）如果H(s)是稳定的，即其极点在s左半平面，映射后得到的H(z)也是稳定的。（4）脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应。因此脉冲响应不变法只能用于带限的频响特性，例如衰减特性很好的低通或带通。如果高频衰减越大，那么频响的混叠效应就越小。对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。此时，可增加一个保护滤波器，滤掉高于折叠频率ΩS/2的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。但这会增加设计的复杂性和滤波器阶数。因此，只有在要求满足频率的线性关系，或者要求保持系统的瞬态响应时，才采用脉冲响应不变法。（3）如果H(s)是稳定的，即其极点在s左半平面，映射后得到457.3.3双线性变换法 上述脉冲响应不变法的基本思想是使模拟滤波器与数字滤波器的脉冲响应互相模仿，从而达到两者频响之间的互相模仿。 双线性变换法的基本思想是使模拟滤波器与数字滤波器的输入和输出信号分别互相模仿，从而达到频响的互相模仿。 下图为双线性变换法的原理图。7.3.3双线性变换法 上述脉冲响应不变法的基本思想是使模46双线性变换法的原理：对模拟滤波器的输入和输出信号同时进行离散化，即数字滤波器的差分方程是模拟滤波器的微分方程的离散化近似。双线性变换法的原理：对模拟滤波器的输入和输出信号同时进行离散47 不失一般性，设具有单极点的模拟滤波器的传递函数H(s)为显然此H(s)的极点为s=-a。 下面推导双线性变换法的映射规律。 设系统H(s)的输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，所对应的拉氏变换分别为X(s)和Y(s)，则有 不失一般性，设具有单极点的模拟滤波器的传递函数H(s)为显48 以采样间隔T对输出信号y(t)的一阶导函数y’(t)进行等间隔采样，即当t=nT时，得输出信号y(t)的一阶导函数y’(t)的离散化结果为 对上式进行拉氏反变换，得模拟滤波器（连续时间系统）的微分方程为 显然，当t=(n-1)T时，有下式成立 以采样间隔T对输出信号y(t)的一阶导函数y’(t)进行等49 另一方面，根据高等数学的理论，可以将输出信号y(t)表示为其一阶导函数y’(t)的变上限积分的形式，即其中t0为某一个固定的时刻，则y(t0)为一数值，因为y(t0)是无穷积分（定积分）的结果。 以采样间隔T对由该变上限积分的形式所表示的输出信号y(t)进行等间隔采样。如果取固定时刻t0=t-T，即t0与t相差一个采样间隔T，即t0是t的前一点采样时刻，那么当t=nT时，有t0=nT-T=(n-1)T。此时可得上述输出信号y(t)的离散化结果为 另一方面，根据高等数学的理论，可以将输出信号y(t)表示为50 因为采样间隔T可以足够小，所以可以将上式右端的定积分采用梯形近似法来近似计算，得 作为近似计算，可以将上式取等号，然后代入（3）式，可得数字滤波器（离散时间系统）的差分方程为 将式（1）和式（2）代入上式，得 因为采样间隔T可以足够小，所以可以将上式右端的定积分采用梯51 对上式差分方程的等号两边取z变换，得 进而可得数字滤波器（离散时间系统）的传递函数H(z)为 对上式差分方程的等号两边取z变换，得 进而可得数字滤波器（52 对比H(s)与H(z)，可以看出二者“双线性”的映射关系：无论是从s到z的变量映射，还是从z到s的变量映射，分子与分母都是变量的线性函数。而且此映射为单值映射。 对比H(s)与H(z)，可以看出二者“双线性”的映射关系：53 下面讨论采用双线性变换法由模拟滤波器H(s)设计数字滤波器H(z)时，从s平面到z平面的映射变换关系。 设s=σ+jΩ，z=rejω，代入式(2)，得 下面讨论采用双线性变换法由模拟滤波器H(s)设计数字滤波器54Im(z)Re(z)-1100

jIm(z)Re(z)-1100j55讨论：（1）当σ<0时，可得r<1，即将s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。（2）当σ>0时，可得r>1，即将s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外。稳定性分析：因为s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内，s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外，所以，稳定的模拟滤波器H(s)通过双线性变换后，所得到的数字滤波器H(z)也是稳定的。讨论：56（3）当σ=0时，可得r=1，即将s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上。将此条件代入上式，还还可以得到，从模拟频率Ω到数字频率ω的映射变换关系为正切函数变换，如下所示。 正切变换是非线性的单值映射或一一映射关系，将模拟频率Ω的无限定义域压缩到了数字频率ω的有限定义域上，s平面的整个虚轴对应于z平面单位圆的一周。因此，双线性变换法使数字滤波器H(z)的频率特性避免发生频谱混叠的现象。这是双线性变换法的最大优点。（3）当σ=0时，可得r=1，即将s平面的虚轴映射到z平面的57双线性变换法使得s平面与z平面是单值的一一对应关系。但数字频率和模拟频率却是非线性关系。

双线性变换法使得s平面与z平面是单值的一一对应关系。但数字频58双线性变换法的频率非线性关系。从图中还可以看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系。当Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢。当Ω为无穷大时，ω终止于折叠频率π处。所以双线性变换法不会出现由于高频部分超过折叠频率而混叠到低频部分的现象。双线性变换法的频率非线性关系。从图中还可以看到，在零频率附近59 双线性变换法的主要缺点就是Ω与ω的非线性关系，会导致下列问题：（1）线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。（2）数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变。例如一个模拟微分器，其幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器 双线性变换法的主要缺点就是Ω与ω的非线性关系，会导致下列问60 虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。 虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有61 双线性变换法的频率变换是非线性变换，所存在频率轴的非线性畸变可以通过预畸来解决。例如，一个考尔型的模拟滤波器H(s)，双线性变换后，得到的H(z)在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。 双线性变换法的频率变换是非线性变换，所存在频率轴的非线性畸62预畸变：将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后，正好映射到所需要的频率上。利用关系式：将所要设计的数字滤波器临界频率点ωi，变换成对应的模拟频率Ωi，利用此Ωi设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，其临界频率正是ωi，如下图所示。预畸变：将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变63双线性变换法的频率预畸变双线性变换法的频率预畸变64 双线性变换法克服了脉冲响应不变法存在的频谱混叠问题，其幅度逼近程度好，可以应用于高通和带阻等各种滤波器的设计。 因为双线性变换法的s与z之间有比较简单的代数关系，所以滤波器设计的运算过程更加直接和简单，从模拟滤波器的传递函数和频率特性，可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数和频率特性。 双线性变换法克服了脉冲响应不变法存在的频谱混叠问题，其幅度65脉冲响应不变法与双线性变换法的比较和选择： 双线性变换法的代数置换比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多。 因此，在IIR数字滤波器设计中，在一般情况下，采用双线性变换法较多。 只有强调滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好。脉冲响应不变法与双线性变换法的比较和选择：66例4：采用双线性变换法设计数字滤波器H(z)，已知所对应的模拟低通滤波器的传递函数H(s)为解：将传递函数H(s)分解为部分分式之和，然后进行“双线性”变量代换，即可得到H(z)。例4：采用双线性变换法设计数字滤波器H(z)，已知所对应的模67第7章数字滤波器设计课件68第7章数字滤波器设计课件69第7章数字滤波器设计课件70例5：采用双线性变换法设计数字滤波器H(z)，已知所对应的模拟低通滤波器的传递函数H(s)为一阶惯性环节设模拟低通滤波器在-3dB处的频率为Ωp1=2000弧度/秒（即fp1=318.31Hz），并且设采样频率为fs=1500Hz（即采样间隔为1/1500s）。例5：采用双线性变换法设计数字滤波器H(z)，已知所对应的模71解：Ωp1=2000弧度/秒，fp1=Ωp1/2π=318.31Hz解：Ωp1=2000弧度/秒，fp1=Ωp1/2π=318.72第7章数字滤波器设计课件73 频率响应之间的差异见上图。数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡，而且带宽也不同。这种误差是由于双线性变换的扭曲造成的。扭曲误差可以通过对-3dB频率的预扭曲来克服。 频率响应之间的差异见上图。数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡74已知采样频率为fs=1500Hz，则数字滤波器的归一化截止角频率ω’p1为则模拟滤波器在-3dB处的预扭曲模拟频率Ω’p1为已知采样频率为fs=1500Hz，则模拟滤波器在-3dB处的75 采用预扭曲技术，得模拟滤波器的传递函数H’(s)和数字滤波器的传递函数H’(z)分别为 采用预扭曲技术，得模拟滤波器的传递函数H’(s)和数字滤波76第7章数字滤波器设计课件777.4FIR数字滤波器设计 可以证明，FIR数字滤波器具有严格线性相位的充要条件是其有限长的单位脉冲响应序列h(n)为偶对称，即h(n)=h(N-1-n)，即n=(N–1)/2是h(n)的偶对称中心。序列的偶对称概念7.4FIR数字滤波器设计 可以证明，FIR数字滤波器具有78 FIR与IIR数字滤波器比较，FIR数字滤波器的主要特点如下。FIR数字滤波器的优点：（1）容易获得严格的线性相位，避免被处理信号产生相位失真。这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要。（2）可以得到多带幅频特性。（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题。（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足。（5）无反馈运算，运算误差小。 FIR与IIR数字滤波器比较，FIR数字滤波器的主要特点79FIR数字滤波器的缺点：（1）因为无极点，所以，如果要获得好的过渡带特性，需要以较高的阶数为代价。（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，需要借助计算机辅助设计程序才能完成。FIR数字滤波器的缺点：807.4.1FIR数字滤波器的设计原理 如果希望得到的数字滤波器的理想频率特性为Hd(ejω)，那么FIR数字滤波器的设计就在于寻找一个传递函数去逼近Hd(ejω)，其中h(n)为有限长序列。逼近方法或设计原理一般有两种：（1）时域窗口设计法（时域逼近），简称窗函数法。（2）频率采样法（频域逼近）。7.4.1FIR数字滤波器的设计原理 如果希望得到的数字滤81FIR数字滤波器设计常用的MATLABFunction为：（1）Function:fir1Purpose:Designawindow-basedfiniteimpulseresponsefilterDescription:fir1implementstheclassicalmethodofwindowedlinear-phaseFIRdigitalfilterdesign.Itdesignsfiltersinstandardlowpass,highpass,bandpass,andbandstopconfigurations.Bydefaultthefilterisnormalizedsothatthemagnituderesponseofthefilteratthecenterfrequencyofthepassbandis0dB.Syntax:b=fir1(n,Wn)b=fir1(n,Wn,'ftype')b=fir1(n,Wn,window)b=fir1(n,Wn,'ftype',window)b=fir1(...,'normalization')FIR数字滤波器设计常用的MATLABFunction为：82（2）Function:fir2Purpose:Designafrequencysampling-basedfiniteimpulseresponsefilterDescription:fir2designsfrequencysampling-baseddigitalFIRfilterswitharbitrarilyshapedfrequencyresponse.Syntax:b=fir2(n,f,m)b=fir2(n,f,m,window)b=fir2(n,f,m,npt)b=fir2(n,f,m,npt,window)b=fir2(n,f,m,npt,lap)b=fir2(n,f,m,npt,lap,window)有关fir1与fir2的具体使用方法参见：MATLABSignalProcessingToolbox（2）Function:fir2837.4.2窗函数法 时域窗口设计法，就是从有限长的单位脉冲响应序列h(n)着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。而hd(n)可以从数字滤波器的理想频率特性Hd(ejω)通过离散时间傅里叶变换(DTFT)的反变换(IDTFT)来获得：回顾第2章的离散时间非周期信号的DTFT：7.4.2窗函数法 时域窗口设计法，就是从有限长的单位脉冲84 在一般情况下，数字滤波器的理想频率特性Hd(ejω)是分段恒定的，即在边界频率处有间断点或突变点。所以，在这种情况下，所得到的理想单位脉冲响应序列hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。 但是FIR数字滤波器的h(n)是有限长序列。现在的问题是，怎样用一个有限长序列h(n)去近似一个无限长序列hd(n)。 最简单的办法是直接从hd(n)中截取一段来作为h(n)，即hd(n)的近似。这种截取可以形象地想象为h(n)是通过一个“时间窗口”所看到的一段hd(n)。因此，h(n)可以表示为hd(n)和一个“时间窗口函数序列w(n)”的乘积，即h(n)=hd(n)w(n)。 在一般情况下，数字滤波器的理想频率特性Hd(ejω)是分段85 此处的“时间窗口函数序列w(n)”可以是矩形脉冲函数序列。为了改善滤波器的频率特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)进行了一定的加权处理。 采用窗函数法设计FIR数字滤波器的过程： 此处的“时间窗口函数序列w(n)”可以是矩形脉冲函数序列。86窗函数的频率特性的主要参数：（1）主瓣宽度(mainlobewidth)：主瓣两边最近过零点的距离，与窗长有关。主瓣宽度决定了滤波器的过渡带宽度。（2）相对旁瓣水平(relativesidelobelevel)：最大旁瓣与主瓣之间的dB差别，与窗长无关，只与窗的类型有关。相对旁瓣水平决定了滤波器的波纹。窗长：窗函数的时域参数，指时间长度。窗的类型：窗函数的不同类型。窗函数的频率特性的主要参数：87 窗函数的形状及长度的选择很关键，一般希望窗函数满足两项要求：（1）窗谱主瓣尽可能地窄，以便能够获取较陡的过渡带。（2）尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是将能量尽量集中于主瓣，这样使得肩峰和波纹减小，就可以增大阻带的衰减。 窗函数的形状及长度的选择很关键，一般希望窗函数满足两项要求88常用的窗函数：（1）矩形窗(rectangularwindow)（2）汉宁窗(Hanningwindow)：升余弦窗（3）汉明窗(Hammingwindow)：改进的升余弦窗（4）布莱克曼窗(Blackmanwindow)：二阶升余弦窗常用的窗函数：89（1）矩形窗(rectangularwindow)（1）矩形窗(rectangularwindow)90（2）汉宁窗(Hanningwindow)（2）汉宁窗(Hanningwindow)91（3）汉明窗(Hammingwindow)（3）汉明窗(Hammingwindow)92（4）布莱克曼窗(Blackmanwindow)（4）布莱克曼窗(Blackmanwindow)93第7章数字滤波器设计课件94四种窗函数的比较：窗函数的频谱N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|四种窗函数的比较：窗函数的频谱95第7章数字滤波器设计课件96(1)RectangularWindow(2)HanningWindow四种窗函数的比较：序列及其频谱(1)RectangularWindow(2)Hann97(4)BlackmanWindow(3)HammingWindow四种窗函数的比较：序列及其频谱(4)BlackmanWindow(3)Hamming98FIR数字滤波器及窗函数的频率特性FIR数字滤波器及窗函数的频率特性99说明：（1）窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁瓣级。（2）相对旁瓣级是最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差值。（3）最大通带偏移和最小阻带值之间的距离近似等于窗的主瓣宽度。（4）为了保证从通带快速过渡到阻带，窗函数应该有一个非常小的主瓣。另一方面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。遗憾的是，这两个要求是相互矛盾的。说明：100常用窗函数的频率特性：常用窗函数的频率特性：101Windows(MATLABFunctions):barthannwin:ComputeamodifiedBartlett-Hannwindow.bartlett:ComputeaBartlettwindow.blackman:ComputeaBlackmanwindow.blackmanharris:Computeaminimum4-termBlackman-Harriswindow.bohmanwin:ComputeaBohmanwindow.chebwin:ComputeaChebyshevwindow.gausswin:ComputeaGaussianwindow.hamming:ComputeaHammingwindow.hann:ComputetheHann(Hanning)window.kaiser:ComputeaKaiserwindow.nuttallwin:ComputeaNuttall-definedminimum4-termBlackman-Harriswindow.rectwin:Computearectangularwindow.triang:Computeatriangularwindow.tukeywin:ComputeaTukey(taperedcosine)window.window:Windowfunctiongateway.Windows(MATLABFunctions):102低通FIR数字滤波器的窗函数法设计步骤：（1）确定通带截止频率fc：fc=(所要求的通带边缘频率+阻带边缘频率)/2（2）计算通带截止频率fc所对应的数字频率ωc,并计算理想低通FIR数字滤波器的脉冲响应：（3）选择合适的窗函数（尽可能满足阻带要求），并确定其长度N=2M+1。（4）对理想低通滤波器的脉冲响应加窗。（5）将所得的脉冲响应移位M以得到因果的滤波器h[n]：低通FIR数字滤波器的窗函数法设计步骤：（3）选择合适的窗函103Example1:b=0.4*sinc(0.4*(-25:25));[H,w]=freqz(b,1,512,2);s.xunits='rad/sample';s.yunits='squared';s.plot='mag';%Plotmagnitudeonly.freqzplot(H,w,s);title('TruncatedSincLowpassFIRFilter');Example1:104Example2:b=0.4*sinc(0.4*(-25:25));b=b.*hamming(51)';[H,w]=freqz(b,1,512,2);s.xunits='rad/sample';s.yunits='squared';s.plot='mag';freqzplot(H,w,s);title('Hamming-WindowedTruncatedSincLPFIRFilter');Example2:1057.4.3频率采样法 在工程上，经常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计方法更加直接。

频率采样法的基本思想： 使所设计的FIR数字滤波器的频率特性，在某些离散频率点处的值，准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值。而在其它频率处的特性，则需要有较好的逼近。7.4.3频率采样法 在工程上，经常给定频域上的技术指标，1067.4.4最优化设计法 前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗函数法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法）。用这两种方法设计出的数字滤波器的频率特性，都是在不同意义上对给定理想频率特性Hd(ejω)的逼近。 对于逼近，就有一个逼近得“好”或“坏”的问题。对“好”或“坏”的恒量标准不同，也会得出不同的结论。前面的窗口法和频率采样法，都是先给出逼近方法和所需变量，然后再讨论其逼近特性。 如果反过来，先要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念。这种FIR数字滤波器的逼近设计方法就是最优化设计法（等波纹逼近）。最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。7.4.4最优化设计法 前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼107Example1:Designa48th-orderFIRbandpassfilterwithpassband0.35≤ω≤0.65.b=fir1(48,[0.350.65]);freqz(b,1,512);Example1:Designa48th-order108Example2:Designa30th-orderlowpassfilterandoverplotthedesiredfrequencyresponsewiththea