服务台中有服务时间的人类行为动力学模型

服务台中有服务时间的人类行为动力学模型

1.电影中的小群体时间分布人们每天都参加大量不同的活动，从电子邮件、销售订单到娱乐活动。人们的行为非常复杂。没有必要用随机过程和模型来描述人类行为。在20世纪，人们使用随机过程和团队模型来反映人类行为的动力学，并提出了不同的团队模型。2005年,Baraba′si提出了一个简单的人类行为动力学模型.文献的实证表明,人类活动方式是相当不均匀的,短期的高活跃状态分隔长期的休止状态,这种不均匀是以给定事件的两次连续服务时间间隔的重尾分布为特征.Baraba′si的工作引起了物理学界的重视,近年来,有关人类行为动力学模型和复杂网络研究的工作不断出现[3—16].最近,文献给出了两次观看电影间隔时间分布的实证研究,不仅发现在群体水平上间隔时间分布可近似用幂律函数进行刻画,而且其幂指数和对应人群观看电影的活跃程度之间存在单调的关系.文献引入了一个基于自适应兴趣的人类动力学模型.Baraba′si将人类活动看作是一个基于优先级的排队系统.在排队论中很多工作是研究具有低优先级事件的等待时间.文献发现低优先级事件等待时间分布是以指数α=3/2的幂律进行衰减,并且有一个指数截断.Va′zquez等在文献中指出,队长变化的模型等待时间服从指数α=3/2的幂律分布;队长固定的模型等待时间服从指数α=1的幂律分布.文献将人类行为动力学划分为幂指数为1和1.5的两个普适类,文献对这一普适类划分提出质疑.由此可见,人类行为动力学有许多值得人们探索的问题.由于Baraba′si模型优先权参数是静态固定不变的,解释不了具有截止时间的人类行为.文献考察了有截止时间的人类行为,文献也研究了老龄化机制模型.其实,在人类活动中任务的优先级是随时间动态变化的,人类处理任务的时间也是一个随机变量.Baraba′si模型也忽视了服务台对事件的服务时间分布.虽然Va′zquez给出了Baraba′si模型在列表数L=2的条件下等待时间的精确解,但是,我们发现这个精确解和Baraba′si给出的解相差甚远.对于服务台具有服务时间的人类行为动力学模型应该怎样刻画?其模型的精确解是什么?为解决这些问题,本文首先描述了Baraba′si的人类行为动力学模型,对Baraba′si的解与Va′zquez的解进行了比较,并指出这两个解存在差异.在此基础上,改进了Baraba′si模型,考虑了服务时间分布的人类行为动力学新模型.对于列表数L=2的情形,获得这个模型事件的等待时间分布解析表达式,并求得人类行为动力学中一个新指标———事件在系统中的逗留时间分布.特别是对于优先权选择协议,证明了这个模型的等待时间分布是指数为2的幂律分布.这给出了Va′zquez等关于人类行为优先级排队划分为两个适普类(指数为1和1.5)的反例.这个指数2与钱学森通信回复时间分布的指数2.1非常接近.本文的结果支持了文献对文献普适类划分提出的质疑.2.应用barabasi模型的cBaraba′si模型定义如下:一个人掌握了一个有L项其必须做的事件列表,当一项事件加入到列表中时,以概率分布函数R(x)分配给它一个优先权x≥0.列表初始状态(t=0时),有L项新事件加入列表.在每个离散时间步t>0,以概率p选择列表中有最高优先权的事件,以概率1-p随机选择一项事件.选择的事件接受服务,并从列表中移出,同时有一项新事件加入列表.文献对于列表中只有两个事件的Baraba′si模型,得到了事件第τ次被选中的概率为当p→1时,(2)式表明人们总是选择新事件执行,事件的等待时间为1.这说明模型是后到先服务,属于择优选择的特殊情况.(2)式既不能完全反映Baraba′si模型的等待时间分布,也与Baraba′si在文献中p→1条件下给出的解析结果不一致.3.基于模型的低风险响应模型虽然Baraba′si在文献中给出了模型的解析结果,但是文献的分析是不严密的,(3)式中τ=1,2,…,(3)式形成不了概率分布,它的幂指数也与钱学森通信回复时间分布的幂指数2.1相距甚远.为了克服这些不足,我们提出服务台具有服务时间的人类行为动力学模型.一个人掌握了一个有L项其必须做的事件列表,事件所需的服务时间序列是独立的、服从参数μ(μ>0)的负指数分布.如果一项事件加入列表,在(0,1)区间上抽取一个优先权参数x,且这项事件在优先权选择协议下接受服务的概率为Π(x)=x.列表初始状态(t=0时),有L项新事件加入列表.在每个时间步t>0,以概率p选择列表中有最高优先权的事件,以概率1-p随机选择一项事件.选择的事件接受服务并从列表中移出,同时有一项新事件加入列表.描述排队系统的主要指标有队长与等待队长、等待时间和逗留时间.等待队长是指系统中排队等待的顾客(即事件)数,而队长是指系统中的顾客数(包括正在接受服务的顾客),一般情况下它们都是随机变量,是顾客和服务机构双方关心的数量指标.显然,队长等于等待队长加上正在接受服务的顾客数.顾客的等待时间是指从顾客进入系统的时刻起直到开始接受服务这一段时间.逗留时间是顾客在系统中的等待时间与服务时间之和.由模型假设可知,具有优先级参数x的事件在优先权选择协议下接受服务的概率Π(x)=x.不失一般性,考虑L=2,列表中事件被选中的概率为因此,新事件从进入列表到接受服务,服务台服务了τ-1个事件的概率为若用w表示事件等待服务的随机变量,则等待时间的概率分布为由(4)式可得则W(t)的密度函数为图1为等待时间分布的密度函数.从图1可以看出:当p→1时,等待时间分布是指数γ=2的幂律分布.假设系统的服务时间为χ,由于事件的逗留时间ζ等于等待时间加上服务时间,即于是,事件的逗留时间ζ的概率分布函数为当p→0时,因此,对于随机选择协议等待时间分布是参数为的负指数分布.当p→1时,则W(t)的密度函数这里意义如下:当t→∞时,由(11)式可知,对于按照优先权选择协议(即p→1)的模型,等待时间分布是指数γ=2的幂律分布.→1.本文改进的模型中等待时间分布的幂律指数与钱学森通信回复时间分布的幂指数2.1非常接近.这与Va′zquez等关于人类行为两个普适类的划分不同,说明人们采取不同的行为导致不同的优先级规则,不同的优先级规则可能引起不同的幂律指数.由于改进的模型中事件接受服务的概率与它的优先级参数呈线性关系,因此产生了幂律指数2.4.基于服务时间的模型本文比较了文献给出的Baraba′si人类行为动力学模型的精确解与Baraba′si本人给出的解析解.通过对Baraba′si模型的改进,考虑了服务台的服务时间,使得模型更符合实际的人类行为活动,获得了事件等待时间分