医学影像系统原理4 CT重建

医学影像系统原理:

CT图像重建算法丁明跃华中科技大学生物医学工程系“图像信息处理与智能控制”教育部重点实验室2023/10/92

一、反投影法二、傅立叶变换法三、滤波反投影法目录

3X射线衰减的计算根据朗勃-比尔(Lamber-Beer)吸收定理,X射线穿过长度为L,吸收系数为的体元,则穿过该体元后的X射线强度为:穿过第二个体元时的X射线强度为:类似地,穿过第n个体元时的X射线强度为:(1)4X射线投影与CT扫描(CTscan)在CT重建过程中,为了确定不同点的吸收系数,我们需要首先计算出每个体元的吸收系数.从数学角度,为了求解n个吸收系数,需要建立n个以上独立方程.因此,CT成像装置要从不同方向上进行多次观测,即扫描,以获取足够多的数据建立求解吸收系数所需要的方程组.一次投影,可获得多个方程.图像重建方法图像重建方法就是图像矩阵的求解方法.按照CT成像原理,如有N×N的图像矩阵,应有N×N个独立的线性方程,并且求解N×N的图像矩阵中的体元的吸收系数.对于N×N个独立的线性方程组求解,可以采用联立方程法(直接矩阵法)和迭代法(逐次近似法)等常用的数学方法.然而由于这些方法计算时间长,不能满足图像重建的基本要求,目前CT成像装置中已不再使用.5N次X射线投影平移加上N次旋转601N-1……78反投影法反投影法(Backprojection)又称总和法,此法是利用投影数值近似地复制出吸收系数的二维分布.其原理是将所测得的投影值按其原投影路径平均地分配到经过的每一点上,各个方向投影值反投影后,在影像点进行累加,从而推断出原图像.9投影与反投影物体向坐标的影射称之为投影坐标方向向物体的影射称之为反投影10反投影重建示意图11边缘失锐与伪影若某吸收体为一小正方形,当采用反投影法进行重建时所获得的重建图像不是正方形,变成了“星”状物,中心处吸收系数最大,离中心越远,吸收系数越低,这就是图像的边缘失锐.因此,反投影法存在的主要缺点就是影像的边缘处不清晰.如果在一均匀的组织密度内,存在吸收系数极不均匀的部分时,反投影图像与原图像会出现图像的伪差(imageartifact).例如取一圆柱形单密度体的若干投影,利用反投影法重建图像呈现出星形伪影.显然,反投影越多,重建图像越接近原图像,但由于存在星形伪影,使得重建图像的边缘部分模糊不清.12边缘失锐与圆形单密度反投影模糊因子从数学角度上可以证明,对于圆形单密度体,反投影重建图像的吸收系数fb(x,y)可以描述为:其中表示二维卷积符号,表示反投影的吸收系数与实际的吸收系数之间的差异,是造成图像边缘模糊的主要原因,故它又被称之为模糊因子.只有消除模糊因子,才能获得与原图像类似的重建图像.13示例-SheppLogan脑模型15Sinogram伪彩Sinogram1812345678910傅立叶变换法傅立叶变换法是解析法中的一种,它是基于使图像矩阵的求解与图像投影的傅立叶变换之间建立确定的关系.傅立叶变换法是一种从频域上校正图像模糊,修正模糊因子的图像重建方法.它包括两种利用傅立叶变换进行图像重建的方法:1.二维傅立叶变换法;2.傅立叶变换反投影法.31傅里叶变换从投影到图像（中心切片定理）34二维傅立叶变换法假设图像矩阵f(x,y)的二维傅立叶变换为:若空间频率坐标以极坐标来表示,则有:则二维傅立叶变换可写为:(1)X射线投影路径35X射线投影路径由于在X射线扫描中,X射线的投影P总是与X射线路径L有关,为此引进一个新的坐标系(极坐标t-)来描述X射线路径L的位置.设X射线路径L到极坐标中心O的距离为t,与y轴夹角为,则X射线路径L用直线方程表示为:当在某一角度时,则沿X射线路径L的投影为:(2)36投影数据Radon变换38投影与线积分