湖南省岳阳市一中2024届高一数学第一学期期末调研试题含解析

湖南省岳阳市一中2024届高一数学第一学期期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，则的最小值为A.-1 B.3C.-3 D.12．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.3．“”是的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．在中，如果，，，则此三角形有（）A.无解 B.一解C.两解 D.无穷多解5．已知函数，则（）A.0 B.1C.2 D.106．已知，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．若角，均为锐角，，，则（）A. B.C. D.8．函数f(x)=|x|+(aR)的图象不可能是（）A. B.C. D.9．已知函数的定义域与值域均为，则（）A. B.C. D.110．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若方程组有解，则实数的取值范围是__________12．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______13．函数的最小正周期是________.14．设函数；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是__________15．某时钟的秒针端点到中心点的距离为6cm，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，将，两点的距离表示成的函数，则_______，其中16．已知函数，则______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，直三棱柱中，分别是的中点，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面.18．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：（天）10202530（个）110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元.（I）求的值;（II）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式;（III）求该商品的日销售收入（元）的最小值.（函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增.性质直接应用.）19．空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：空气质量指数空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染现分别从甲、乙两个城市月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取天的数据，记录如下：甲乙（1）估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率；（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；（3）记甲城市这天空气质量指数的方差为．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为，试比较、、的大小．（结论不要求证明）20．如图所示，已知长方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分别为AD、BC的中点，将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD（1）求证：直线CM⊥面DFN；（2）求点C到平面FDM的距离21．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，设函数（1）求函数的最小正周期；（2）若对任意恒成立，求实数m的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.详解：，当且仅当时等号成立，故选A.点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.2、A【解题分析】将写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出的取值范围.【题目详解】因为，所以，当在上单调递增时，，所以，当在上单调递增时，，所以，且，所以，故选：A.【题目点拨】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：（1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；（2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.3、A【解题分析】先看时，是否成立，即判断充分性；再看成立时，能否推出，即判断必要性，由此可得答案.【题目详解】当时，，即“”是的充分条件；当时，，则或，则或,即成立，推不出一定成立，故“”不是的必要条件，故选：A.4、A【解题分析】利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【题目详解】由余弦定理可知：，该一元二次方程根的判别式，所以该一元二次方程没有实数根，故选：A5、B【解题分析】根据分段函数的解析式直接计算即可.【题目详解】.故选：B.6、A【解题分析】化简得，再利用充分非必要条件定义判断得解.【题目详解】解：.因为“”是“”的充分非必要条件，所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A7、B【解题分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.【题目详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则，所以，.故选：B8、C【解题分析】对分类讨论，将函数写成分段形式，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可.【题目详解】，①当时，，图象如A选项；②当时，时，，在递减，在递增；时，，由，单调递减，所以在上单调递减，故图象为B；③当时，时，，可得，，在递增，即在递增，图象为D；故选：C.9、A【解题分析】根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案.【题目详解】解：∵的解集为，∴方程的解为或4，则，，，∴，又因函数的值域为，∴，∴.故选：A.10、B【解题分析】根据直观图画出原图，可得原图形为直角梯形，计算该直角梯形的面积即可.【题目详解】过点作，垂足为则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形，根据直观图画出原图如下：可得原图形为直角梯形，，且，可得原四边形的面积为故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】，化为，要使方程组有解，则两圆相交或相切，，即或，，故答案为.12、【解题分析】求出二次函数的对称轴，即可得的单增区间，即可求解.【题目详解】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：13、【解题分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可.【题目详解】函数中，.故答案为：【题目点拨】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题.14、【解题分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有1个实数根转化为函数与直线有一个交点，然后数形结合即可求解.【题目详解】作出函数的图象，如图：结合图象可得：，故答案为：.15、【解题分析】设函数解析式为，由题意将、代入求出参数值，即可得解析式.【题目详解】设，由题意知：，当时，，则，，令得；当时，，则，，令得，所以.故答案为：.16、【解题分析】由分段函数解析式先求，再求.【题目详解】由已知可得，故.故答案为：2.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】（1）连结，交点，连，推出//1，即可证明平面；（2）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，证明，得到平面，然后证明平面平面试题解析：（1）连结，交点，连，则是的中点，因为是的中点，故//.因为平面，平面.所以//平面.（2）取的中点，连结，因为是的中点，故//且.显然//，且，所以//且则四边形是平行四边形.所以//.因为，所以又，所以直线平面.因为//，所以直线平面.因为平面，所以平面平面18、(I)1,(II);(III)121元【解题分析】（I）利用列方程，解方程求得的值.（II）根据题目所给表格的数据，判断出日销售量不单调，由此确定选择模型②.将表格数据代入，待定系数法求得的值，也即求得的解析式.（III）将写成分段函数的形式，由计算出日销售收入的解析式，根据函数的单调性求得的最小值.【题目详解】（I）依题意知第10天该商品的日销售收入为，解得.（II）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②.从表中任意取两组值代入可求得（III）由（2）知∴当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，所以当时，取得最小值，且;当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且.综上所述，当时，取得最小值，且.故该商品的日销售收入的最小值为121元.【题目点拨】本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用，考查利用函数的单调性求最值，考查运算求解能力，属于中档题.19、（1）；（2）；（3）【解题分析】（1）甲城市这天内空气质量类别为良有天，利用频率估计概率的思想可求得结果；（2）列举出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）根据题意可得出、、的大小关系.【题目详解】（1）甲城市这天内空气质量类别为良的有天，则估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率为；（2）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，用表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，则事件包含的基本事件有：、、、，共个基本事件，所以，；（3）【题目点拨】方法点睛：求解古典概型概率的问题有如下方法：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列组合数的应用.20、（1）见解析；（2）【解题分析】（1）推导出DN⊥CM，CM⊥FN，由此能证明CM⊥平面DFN．（2）以M为原点，MN为x轴，MA为y轴，ME为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面FDM的距离【题目详解】证明：（1）∵长方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分别为AD、BC的中点，将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD因为长方形ABCD，DC=CN=2,所以四边形DCNM是正方形，∴DN⊥CM，因为平面MNFE⊥平面ABCD，FN⊥MN,MNFE∩平面ABCD=MN,所以FN⊥平面DCNM，因为CM平面DCNM，所以CM⊥FN，又DN∩FN=N，∴CM⊥平面DFN（2）以M为原点，MN为x轴，MA为y轴，ME为z轴，建立空间直角坐标系，则C（2，-2，0），D（0，-2，0），F（2，0，2），M（0，0，0），=（2，-2，0），=（0，-2，0），=（2，0，2），设平面FDM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，-1），∴点C到平面FDM的距离d===【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线