2024届北京市海淀区北京师大附中高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2024届北京市海淀区北京师大附中高一数学第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．“密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是密位制，即将一个圆周角分为等份，每一个等份是一个密位，那么密位对应弧度为（）A. B.C. D.2．已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（）A.{－1} B.{0，1}C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，3}3．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（）A. B.C. D.4．已知，其中a，b为常数，若，则（）A. B.C.10 D.25．圆O1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆O2：x2+y2﹣14x﹣2y+14＝0的位置关系是（）A.相离 B.内含C.外切 D.内切6．已知定义在上的奇函数满足当时，，则关于的函数，（）的所有零点之和为（）A. B.C. D.7．若函数在闭区间上有最大值5，最小值1，则的取值范围是（）A. B.C. D.8．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于()A. B.C. D.9．函数的定义域为（）A. B.C. D.R10．已知集合，，若，则A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为______.12．一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_______cm³.13．化简_____14．已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则______，______.15．已知定义在上的偶函数，当时，，则________16．已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：空气质量指数空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染现分别从甲、乙两个城市月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取天的数据，记录如下：甲乙（1）估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率；（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；（3）记甲城市这天空气质量指数的方差为．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为，试比较、、的大小．（结论不要求证明）18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为（直接写出结果即可）；（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象；（3）求函数在区间上最大值和最小值19．已知，，且函数有奇偶性，求a，b的值20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值21．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可以美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场栽培芦荟，为了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：上市时间（t）50110250种植成本（Q）150108150（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系并求出函数关系式．；；；（2）利用你得到的函数关系式，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】根据弧度制公式即可求得结果【题目详解】密位对应弧度为故选：B2、C【解题分析】由交集与补集的定义即可求解.【题目详解】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，所以，又全集U＝{－1，0，1，2，3}，所以，故选：C.3、A【解题分析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围【题目详解】解：因为，所以，当时，的最小值为；当时，，，由知，，所以此时，其最小值为；同理，当，时，，其最小值为；当，时，的最小值为；作出如简图，因为，要使，则有解得或，要使对任意，都有，则实数的取值范围是故选：A4、A【解题分析】计算出，结合可求得的值.【题目详解】因为，所以，若，则.故选:A5、D【解题分析】先求出两圆的圆心距，再比较圆心距和两个半径的关系得解.【题目详解】由题得圆O1：它表示圆心为O1（3,-2）半径为1的圆；圆O2：，它表示圆心为O2（7,1），半径为6的圆.两圆圆心距为，所以两圆内切.故选：D【题目点拨】本题主要考查两圆位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6、B【解题分析】作函数与的图象，从而可得函数有5个零点，设5个零点分别为，从而结合图象解得【题目详解】解：作函数与的图象如下，结合图象可知，函数与的图象共有5个交点，故函数有5个零点，设5个零点分别为，∴，，，故，即，故，故选B【题目点拨】本题考查了函数零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于常考题型.7、D【解题分析】数形结合：根据所给函数作出其草图，借助图象即可求得答案【题目详解】，令，即，解得或，，作出函数图象如下图所示：因为函数在闭区间上有最大值5，最小值1，所以由图象可知，故选：D【题目点拨】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键8、C【解题分析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算9、D【解题分析】利用指数函数的性质即可得出选项.【题目详解】指数函数的定义域为R.故选：D10、A【解题分析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得的值，进而求得.【题目详解】由于，故，所以，故，故选A.【题目点拨】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解题分析】首先由扇形的弧长与圆心角求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；【题目详解】解：因为扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，所以扇形的半径cm，所以扇形的面积；故答案为：12、【解题分析】因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2所以球的半径为：所求球的体积为=故答案为：13、-2【解题分析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.【题目详解】.故答案为：.14、①.20②.96【解题分析】先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.【题目详解】根据平均数及方差公式，可得:化简得：，，或则，故答案为：20；96【题目点拨】本题主要考查了平均数和方等概念，以及解方程组，属于容易题.15、6【解题分析】利用函数是偶函数，，代入求值.【题目详解】是偶函数，.故答案6【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.16、【解题分析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.详解】不妨设，因为函数有两个零点分别为a，b，所以，所以，即，且，，当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，，即，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）【解题分析】（1）甲城市这天内空气质量类别为良有天，利用频率估计概率的思想可求得结果；（2）列举出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）根据题意可得出、、的大小关系.【题目详解】（1）甲城市这天内空气质量类别为良的有天，则估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率为；（2）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，用表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，则事件包含的基本事件有：、、、，共个基本事件，所以，；（3）【题目点拨】方法点睛：求解古典概型概率的问题有如下方法：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列组合数的应用.18、（1）见解析；（2）详见解析；（3）当时，；当时，【解题分析】（1）由表中数据可以得到的值与函数周期，从而求出，进而求出，即可得到函数的解析式，利用函数解析式可将表中数据补充完整；（2）结合三角函数性质与表格中的数据可以作出一个周期的图象；（3）结合正弦函数单调性，可以求出函数的最值【题目详解】（1）根据表中已知数据，解得，，，数据补全如下表：函数表达式为.（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象见下图：（3）令，，则，则，，可转化为，，因为正弦函数在区间上单调递减，在区间（上单调递增，所以，在区间上单调递减，在区间（上单调递增，故的最小值为，最大值为，由于时，；时，，故当时，；当时，.【题目点拨】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题19、为奇函数，，【解题分析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【题目详解】若为奇函数，则，所以恒成立，即，所以恒成立，所以，解得，所以当为奇函数时，，若为偶函数，则，所以恒成立，得，得，不合题意，所以不可能是偶函数，综上，为奇函数，，20、（1）（2），，，【解题分析】试题分析：（1）由图象知，，从而可求得，继而可求得；（2）利用三角函数间的关系可求得，利用余弦函数的性质可求得时的最大值与最小值及相应的值试题解析：：（1）由图象知，∴∴图象过点，则，∵，∴，于是有（2）.∵，∴当，即时，；当，即时，考点：（1）由的部分图象求其解析式；（2）正弦函数的定义域和值域.【方法点晴】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．由三角函数图象求解析式时，主要是通过图象最高点或最低点得到振幅，通过图象的周期得到，最后代入特殊点得到的值；在求三角函数最值时，主要是通过辅角公式将其化为一般形式或，在得最值.21、（1）应选择二次函数；（2）当芦荟上市时间为150天时，种植