2022年北京德茂中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022年北京德茂中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某同学同时投掷两颗骰子，得到点数分别为，则双曲线的一条渐近线的倾斜角小于的概率为 （

）

参考答案：A略2.若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图所示，其中a，b(a>0且a≠1)为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象为()参考答案：B略3.已知点是双曲线的右支上一动点，，分别是圆和的动点，则的最大值为（

）A.6

B.7

C.8

D.9参考答案：D4.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为：A、18

B、24

C、36

D、48参考答案：C5.设a,b为实数，若复数，则A．

B.

C.

D.

参考答案：A略6.设为虚数单位，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（

）A.

B.

C.6

D.参考答案：B【知识点】函数的奇偶性与周期性.B4

解析：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），

∴f（0）=30+m=0，解得m=-1，故有x≥0时f（x）=3x-1

∴f（-log35）=-f（log35）=-（3log35-1）=-4【思路点拨】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（-log35）=-f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确答案.8.若函数的图象如图所示，则

A.

1：6：5:(-8）B.

1：（-6）：5:(-8）C.

1：（-6）：5:8D.

1:6:5:8参考答案：B9.函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像

（

）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：B略10.已知复数,则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D第四象限参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足，，则Sn=________.参考答案：或n【分析】根据和q=1两种情况求的值。【详解】由题当时，，解得(q+2)(q-1)=0，得q=2，此时；得当q=1时，，，满足题意，则此时；综上或n【点睛】本题考查等比数列求和。12.已知关于的不等式有三个整数解,则实数的取值范围为

．参考答案：13.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别是________．参考答案：0.4,1214.在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________参考答案：2x2+16π15.过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是．参考答案：x+y﹣3=0【考点】直线的一般式方程．【分析】研究知点M（1，2）在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．【解答】解：验证知点M（1，2）在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（3，4）∵kCM==1，∴kl=﹣1∴l：y﹣2=﹣（x﹣1），整理得x+y﹣3=0故答案为：x+y﹣3=0．16.已知，，则

，

，

．参考答案：

17.函数f（x）=x+（x＞1）的最小值为

参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若，求的最大值．参考答案：（1），………………………3分所以函数的最小正周期为．…………4分由得所以函数的单调递增区间为．……6分（2）由可得，又，所以。…8分由余弦定理可得，即又，所以，故，当且仅当，即时等号成立因此的最大值为。………12分19.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．(Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．参考答案：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC．

(Ⅱ）设AC∩BD＝O．因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝．如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则

P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）．

所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）．

设PB与AC所成角为θ，则

cosθ＝＝＝．

(Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）．设P（0，－，t）(t＞0），则＝（－1，－，t）．设平面PBC的法向量m＝（x，y，z），则·m＝0，·m＝0．所以

令y＝，则x＝3，z＝，

所以m＝．同理，可求得平面PDC的法向量n＝．因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0．解得t＝．所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA＝．

20.四棱锥P﹣ABCD中，DC∥AB，AB=2DC=4，AC=2AD=4，平面PAD⊥底面ABCD，M为棱PB上任一点．（Ⅰ）证明：平面MAC⊥平面PAD；（Ⅱ）若△PAD为等边三角形，平面MAC把四棱锥P﹣ABCD分成两个几何体，当着两个几何体的体积之比VM﹣ACD：VM﹣ABC=11：4时，求的值．参考答案：考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由勾股定理可得AC⊥AD，进而由面面垂直的性质得到：AC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到：平面MAC⊥平面PAD；（Ⅱ）取AD的中点E，连接PE，BE，易证平面PBE⊥平面ABCD，过M作MN⊥BE于点N，则MN⊥平面ABCD，由VM﹣ACD：VM﹣ABC=11：4可得：VM﹣ABCD：VM﹣ABC=15：4，进而可得MN的长，最后由在△PAE中，=得到答案．解答： 证明：（Ⅰ）在△ACD中，由AC=2AD=4，2DC=4，可得：AC2+AD2=CD2，∴AC⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，AC?底面ABCD，∴AC⊥平面PAD，又∵AC?平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD；解：（Ⅱ）取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD，则PE⊥平面ABCD，且PE=，连接BE，则平面PBE⊥平面ABCD，过M作MN⊥BE于点N，则MN⊥平面ABCD，∴S△ACD=×AC×AD=×2×4=4，S△ABC=×AC×AB?sin∠BAC=×4×4×=8，故Vp﹣ABCD=（S△ACD+S△ABC）PE=×（4+8）×=4，VM﹣ABC=S△ABC?MN=，由VM﹣ACD：VM﹣ABC=11：4得：VM﹣ABCD：VM﹣ABC=15：4，即4：=15：4，解得：MN=在△PAE中，==点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答本题的关键．21.设命题函数是上的减函数，命题函数,的值域为，若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围．参考答案：解析：命题真

………2分∵，画图象可知：命题真

…………4分且为假，或为真,

、一真一假．

…………6分若真假得，

,

若假真得，．

………………9分综上所述，的取值范围是或．

……10分22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x4－2ax2，a∈R．(1)当a≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜x＜2a时，函数f(x)存在极小值，求a的取值范围；参考答案：解：(1)由题设知f'(x)＝4x3－4ax，令f'(x)＝0，得4x(x2－a)＝0，当a≤0时，得x＝0时，x＜0时，f'(x)＜0；x＞0时，f'(x)＞0，∴函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)；单调递增区间是(0，＋∞)．(2)∵a＜x＜2a，∴a＞0．当a＞0时，令f'(x)＝0