2022年北京孙村中学高三数学理模拟试题含解析

2022年北京孙村中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，且其图象关于直线对称，则

（

）A.的最小正周期为，且在上为增函数B.的最小正周期为，且在上为减函数C.的最小正周期为，且在上为增函数D.的最小正周期为，且在上为减函数参考答案：B略2.已知向量等于A.3 B. C. D.参考答案：B3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果=()A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：B4.“λ≤1”是数列“an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据数列的递增的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵数列“an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，∴an+1＞an．∴（n+1）2﹣2λ（n+1）＞n2﹣2λn，化为对于?n∈N*恒成立．∴．则“λ≤1”是数列“an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据递增数列的性质是解决本题的关键．5.若a=sinxdx，则（x+）（ax﹣1）5的展开式中的常数项为(

) A．10 B．20 C．﹣10 D．﹣20参考答案：A考点：二项式系数的性质；定积分．专题：二项式定理．分析：求定积分可得a的值，把（2x﹣1）5按照二项式定理展开，即可求得（x+）（2x﹣1）5展开式的常数项．解答： 解：a=sinxdx=﹣cosx=2，则（x+）（ax﹣1）5=（x+）（2x﹣1）5=（x+）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故（x+）（2x﹣1）5展开式的常数项为=10，故选：A．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．6.集合的，具有性质“若，则”的所有非空子集的个数为（

）A.

3

B.

7

C.

15

D.

31参考答案：B7.函数的图象的大致形状是参考答案：D略8.已知复数z=，是z的共轭复数，则z?=（）A． B． C．1 D．2参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件求得|z|，再根据z?=|z|2，计算求得结果．【解答】解：∵复数z=，∴|z|===1，∴z?=|z|2=12=1，故选：C．【点评】本题主要考查共轭复数的性质，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．9.已知是圆：上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（

）

A.-1

B.0

C.

D.参考答案：c略2.

已知i是虚数单位，则=A1-2i

B2-i

C

2+i

D

1+2i

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：1的图像关于原点对称；2为偶函数；3的最小值为0；4在上为减函数.其中正确命题的序号是_______________.（将所有正确命题的序号都填上）参考答案：2312.若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是________．参考答案：5略13.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102,104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是__________参考答案：略14.若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．15.已知四棱椎的底面是边长为6的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是

.参考答案：9616.的展开式中常数项为

．参考答案：1417.定义：区间的长度为.已知函数定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为

▲

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足

参考答案：19.已知椭圆经过点,离心率为．(1)求椭圆C的方程：(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1·k2

最大时,求直线l的方程．参考答案：(1)由已知可得，所以

①

1分又点在椭圆上，所以

②

2分由①②解之，得.故椭圆的方程为.

4分(2)解法一：①当直线的斜率为0时,则;

5分②当直线的斜率不为0时,设,,直线的方程为,将代入,整理得.

则,

又,,所以,

9分令,则当时即时，；当时，或当且仅当,即时,取得最大值.

11分由①②得,直线的方程为.

12分解法二：①当直线垂直于x轴时,则;②当直线与x轴不垂直时,设,,直线的方程为,将代入,整理得.则又,,所以,令由得或所以当且仅当时最大，所以直线的方程为.略20.（12分）已知椭圆的离心率为，且短轴长为，是椭圆的左右两个焦点，若直线过，且倾斜角为,交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程.（2）求的周长与面积.参考答案：【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案解析】（1）

（2）8；（1）∵离心率为，且短轴长为2，∴解得：c2=，a2=6，b2=3，

∴椭圆C的标准方程为=1；

（2）设△ABF1的周长为l，

则l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8，F2（1，0），

又∵倾斜角为45°，∴l的方程为：x-y-1=0，

∴，消x得7y2+6y-9=0，∴y1+y2=-，y1?y2=-，

∴|y1-y2|==，

∴设△ABF1的面积为S，∴S=×2c×|y1-y2|=．

∴△ABF1的周长与面积分别为8；【思路点拨】（1）设出椭圆C的标准方程，由短轴长与离心率，结合a2=b2+c2，求出b、a，即得标准方程；

（2）求出直线AB的方程，与椭圆的方程组成方程组，利用韦达定理得y1+y2=-，y1?y2=-，计算出|y1-y2|，求出面积．21.如图,已知为圆的直径，为垂直的一条弦，垂足为，弦交于.（I）求证：四点共圆；（II）若，求线段的长．参考答案：（I）如图，连结，由为圆的直径可知又，所以因此四点共圆………………4分（II）连结，由四点共圆得又，所以因为在中，所以.………………10分22.已知是定义在上的偶函数，且时，．（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）若，求的取值范围．参考答