2022-2023学年江西省宜春市伯塘中学高一数学文期末试题含解析

2022-2023学年江西省宜春市伯塘中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（） A．2 B．6 C．4 D．2参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值． 【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4， 表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆． 由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC==2，CB=R=2， ∴切线的长|AB|===6． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题． 2.已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B． C．﹣9 D．﹣参考答案：B【考点】函数的值．【分析】首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．【解答】解：∵，∴==﹣2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故选B．【点评】正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．3.下列不等式的解集是R的为

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.设，，则“”是“”的（

）A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.5.设f（x）=5|x|﹣，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（）A．（﹣1，﹣） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）参考答案：D【考点】函数单调性的性质．【分析】判断函数f（x）的单调性和奇偶性，利用函数f（x）的单调性和奇偶性求解．【解答】解：函数f（x）=5|x|﹣，则f（﹣x）=5|﹣x|﹣=5|x|﹣=f（x）为偶函数，∵y1=5|x|是增函数，y2=﹣也是增函数，故函数f（x）是增函数．那么：f（2x+1）＞f（x）等价于：|2x+1|＞|x|，解得：x＜﹣1或使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选D．【点评】本题考查了利用函数f（x）的单调性和奇偶性求解不等式的问题．属于基础题．6.设四边形ABCD为平行四边形，，若点M，N满足，则（）A.20 B.15 C.9 D.6参考答案：C【分析】根据图形得出，，，结合平面向量的运算及向量的数量积定义即可求解．【详解】解：∵四边形为平行四边形，点满足，∴根据图形可得：，，又，所以，又，，，∴故选：C．【点睛】本题主要考查了平面向量的运算，数量积的定义，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题。7.幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（）A．（﹣2，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：C【考点】幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的单调增区间．【解答】解：幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），所以4=2α，即α=2，所以幂函数为f（x）=x2它的单调递增区间是：[0，+∞）故选C．【点评】本题考查求幂函数的解析式，幂函数的单调性，是基础题．8.对两个变量x，y的几组观测数据统计如下表，则这两个相关变量的关系是x1098765y233.544.85A.负相关 B.正相关 C.先正后负相关 D.先负后正相关参考答案：A【分析】从表中可知变量值在减小时，变量的值反而在增大，它们应是负相关.【详解】根据给定数据得这两个相关变量的关系是负相关.选A.【点睛】本题考查变量的相关性，掌握正负相关的概念是解题关键，本题属于基础题.9.（5分）已知向量=（﹣x+1，2），=（3，x），若，则x等于（） A． ﹣3 B． ﹣1 C． 1 D． 3参考答案：D考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题： 平面向量及应用．分析： 由题意可得=3（﹣x+1）+2x=0，解方程可得．解答： ∵向量=（﹣x+1，2），=（3，x），由可得=3（﹣x+1）+2x=0，解得x=3故选：D点评： 本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题．10.过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（

）A．

B．或

C．

D．或参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图：函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是__________。参考答案：略12.（2016秋?建邺区校级期中）已知函数f（x）=2x﹣2﹣x，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：（﹣3．+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】通过判定函数f（x）=2x﹣2﹣x）=2x﹣x在R上单调递增、奇函数，脱掉”f“，转化为恒成立问题，分离参数求解．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣2﹣x）=2x﹣x在R上单调递增，又∵f（﹣x）=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，?对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）＞f（﹣4+x）恒成立，?对任意的x∈[1，3]，x2+（t﹣1）x+4＞0?（t﹣1）x＞﹣x2﹣4?t﹣1＞﹣（x+，∵，∴t﹣1＞﹣4，即t＞﹣3．故答案为：（﹣3．+∞）【点评】本题考查了函数的单调性、奇函数，恒成立问题，分离参数法，属于中档题．13.已知f（x）是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+ax，若f（﹣1）=2，则a=；f（2）的值是．参考答案：1;6.【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）为偶函数，便可得到f（1）=1+a=2，从而求出a=1，从而得到x＞0时的f（x）解析式，从而得出f（2）的值．【解答】解：f（x）为偶函数；∴f（1）=f（﹣1）=2；∴1+a=2；∴a=1；∴x＞0时，f（x）=x2+x；∴f（2）=6．故答案为：1，6．【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数求值．14.已知集合，集合,若，则实数的取值范围是

．参考答案：或略15.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.点在以为半径的圆弧上，如图所示，若其中,则________；________.参考答案：16.已知，则______.参考答案：【分析】由，两边平方得到，再根据平方关系求解.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下结论：①平面；②平面；③；④异面直线与所成的角为60°.则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.参考答案：①③【分析】①：利用线面平行的判定定理可以直接判断是正确的结论；②：举反例可以判断出该结论是错误的；③：可以利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质定理可以判断是正确的结论；④：可以通过，可以判断出异面直线与所成的角为，即本结论是错误的，最后选出正确的结论序号.【详解】①：平面，平面平面，故本结论是正确的；②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；④：因为，所以异面直线与所成的角为，在正方形中，，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、性质定理，考查了异面直线所成的角、线面垂直的性质.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=2b?4x﹣2x﹣1（Ⅰ）当b=时，利用定义证明函数g（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）当b=时，若f（x）﹣m≥0对于任意x∈R恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）有零点，求b的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；（Ⅱ）当b=时，f（x）﹣m≥0即为m≤4x﹣2x﹣1恒成立，即m≤4x﹣2x﹣1的最小值，运用配方和二次函数和指数函数的值域，即可求得m的范围；（Ⅲ）f（x）有零点，即为2b?4x﹣2x﹣1=0有实数解，由参数分离和指数函数的值域，即可得到b的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：当b=时，f（x）=4x﹣2x﹣1，g（x）==2x﹣2﹣x﹣1，设m＜n，g（m）﹣g（n）=2m﹣2﹣m﹣1﹣（2n﹣2﹣n﹣1）=（2m﹣2n）+（2﹣n﹣2﹣m）=（2m﹣2n）（1+2﹣m﹣n），由m＜n，可得0＜2m＜2n，2m﹣2n＜0，即有g（m）＜g（n），则g（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）当b=时，f（x）﹣m≥0即为m≤4x﹣2x﹣1恒成立，即m≤4x﹣2x﹣1的最小值，而4x﹣2x﹣1=（2x﹣）2﹣≥﹣，当x=﹣1时，取得最小值﹣，则有m≤﹣；（Ⅲ）f（x）有零点，即为2b?4x﹣2x﹣1=0有实数解，即2b==（）2x+（）x=[（）x+]2﹣，由于（）x＞0，可得（）x+]2﹣＞﹣=0，即有2b＞0，即b＞0．【点评】本题考查函数的单调性的证明，不等式恒成立问题的解法和函数的零点问题，注意转化为函数的最值和方程的解，考查运算能力，属于中档题．19.（14分）已知，，α，β∈（0，π），求α，β的值．参考答案：考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： 已知两式利用诱导公式化简，得到两个关系式，两式平方相加求出cosα的值，进而求出cosβ的值，即可确定出α，β的值．解答： 依题意得：sinα=sinβ①，cosα=cosβ②，将①②平方相加得：sin2α+3cos2α=1﹣cos2α+3cos2α=2，即cos2α=，∴cosα=±，cosβ=±，∵α，β∈（0，π），∴α=或，β=或．点评： 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．20.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E为DD1中点．（1）求证：平面ACE；（2）求证：．参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)连接与与交于点，在利用中位线证明平行.(2)首先证明平面，由于平面，证明得到结论.【详解】证明：（1）连接与交于点，连接因为底面为菱形，所以为中点因为为中点，所以平面，平面，所以平面（2）在直四棱柱中，平面，平面所以因为底面为菱形，所以所以，，，平面，平面所以平面因为平面，所以【点睛】本题考查直棱柱得概念和性质，考查线面平行的判定定理，考查线面垂直的判定定理，考查了学生的逻辑能力和书写能力，属于简单题21.已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，.

（1）求的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立