2022年山西省大同市杜庄张落阵营中学高三数学理期末试题含解析

2022年山西省大同市杜庄张落阵营中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（

）A. B. C.

D.参考答案：B2.已知当时，关于x的方程有唯一实数解，则距离k最近的整数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B3.函数的图象如图所示，则满足的关系是(

)A．

B．C．

D．参考答案：A4.在中，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B由题知，，设，由余弦定理，由双曲线的定义有，，，故选B5.记，其中[x]表示不超过x的最大整数，若方程有4个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A．

B．

C.

D．参考答案：D当时，；当时，；所以，选D

6.函数在区间内的零点个数是 （）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B7.在复平面内，复数对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

参考答案：D略8.已知二次函数的值域是,那么的最小值是(

).

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：B解析：由二次函数的值域是,得且,∴且,.∴.

当时取等号.

9.已知上可导，且，则当时，有

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.若，，则一定有（

）A、

B、C、

D、参考答案：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．参考答案：﹣3＜m≤【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【分析】函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=?x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1?（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即?﹣3＜m≤．?＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．12.已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，，若平面ABD⊥平面BCD，则该几何体的外接球表面积为．参考答案：【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】△ABD和△BCD的形状寻找截面圆心位置，从而得出球心位置．计算外接球的半径即可得出面积．【解答】解：∵空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，∴△ABD是正三角形；又BC=1，，∴△BCD是直角三角形；取BD的中点M，连接CM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∴棱锥外接球的球心为△ABD的中心，∵AM==，∴该四棱锥A﹣BCD的外接球的半径为=，∴几何体外接球的表面积S=4π（）2=．故答案为：．13.已知cos（α﹣）=，α∈（0，），则=．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和二倍角公式进行化简求值．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，0），∵cos（α﹣）=，∴sin（α﹣）=﹣=，==﹣=﹣2sin（）=﹣．故答案是：﹣．14.设P为△ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则=．参考答案：0考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则可得=（）?（）=﹣（）?+，由数量积运算即可得出结论．解答：解：由题意可得PA=PD=1，=2，∴=（）?（）=﹣（）?+=﹣3+2×1×1+1=0．故答案为0．点评：本题主要考查向量加减的运算法则及数量积运算等知识，属于基础题．15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）。若，其中的取值范围是

．参考答案：.试题分析：因为，所以，即，于是令，则，所以，整理得，所以，即，故应填.考点：1、平面向量的数量积的应用；2、不等式的应用；16.若直线与圆相交于A、B两点,则的值为

参考答案：017.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．参考答案：60每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列是递增数列，且满足。（1）若是等差数列，求数列的通项公式；（2）对于（1）中，令，求数列的前项和。参考答案：（1）根据题意：（2）19.已知椭圆方程为，长轴两端点为，短轴上端点为．（1）若椭圆焦点坐标为，点在椭圆上运动，且的最大面积为3，求该椭圆方程；（2）对于（1）中的椭圆，作以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，设直线的斜率为，试求的值；（3）过任作垂直于，点在椭圆上，试问在轴上是否存在点，使得直线的斜率与的斜率之积为定值，如果存在，找出一个点的坐标，如果不存在，说明理由．参考答案：解：（1）由已知：，，联立方程组求得：所求方程为：

……………

4分

（2）依题意设所在的直线方程为，代入椭圆方程并整理得：，则同理

由得，即

故

………

8分（3）由题意知设而(为定值).对比上式可知：选取，则得直线的斜率与的斜率之积为

……………

13分20.（本小题满分7分）（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点A和B，求|AB|;

（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：（为参数），试求曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程参考答案：（Ι）直线和圆的直角坐标方程分别为…………1分

则圆心为C（1，2），半径R=，…………………2分

从而C到直线y=x的距离d=………3分由垂径定理得，|AB|=………………4分（Ⅱ）解：曲线C1可化为：………5分曲线C2是以（1,3）为圆心，1为半径的圆………6分（1,3）关于直线的对称点（-1，1）故所求曲线为圆……………7分21.(本小题满分13分)已知函数.（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若，且关于x的方程在上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，

求证：.参考答案：（（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为，，由在时恒成立，得到在时恒成立，确定得到取最小值，即得所求.（Ⅱ）已知条件等价于方程在上有两个不同的实根，设，求得，时，，时，，通过确定，由，得即得.（Ⅲ）先证：当时，.令，可证时单调递增，时单调递减，时.证得.用以上结论，由可得.进一步得到从而当时，，…，相乘得.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，

……………2分依题意在时恒成立，则在时恒成立，当时，取最小值，.

…………4分（Ⅱ）已知条件等价于方程在上有两个不同的实根，设，，时，，时，， …………6分由，得则

……………8分（Ⅲ）先证：当时，.令，可证时单调递增，时单调递减，时.所以时，.

……………9分用以上结论，由可得.，故

……10分所以当时，，…，相乘得.

………12分又故，即.

……………13分考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值、证明不等式；2.数列的通项；3.不等式恒成立问题.22.为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手