高中数学一轮复习考点专题51 等差等比数列综合问题 (含解析)

PAGE微专题51等差等比数列综合问题一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：等差数列SKIPIF1<0等比数列SKIPIF1<0递推公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0通项公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0等差（比）中项SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0等间隔抽项仍构成等差数列仍构成等比数列相邻SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0成等差数列SKIPIF1<0成等比数列2、等差数列与等比数列的互化：（1）若SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0成等比数列证明：设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为一个常数所以SKIPIF1<0成等比数列（2）若SKIPIF1<0为正项等比数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0成等差数列证明：设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为常数所以SKIPIF1<0成等差数列二、典型例题：例1：已知等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0成等差数列，则公比SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由“SKIPIF1<0成等差数列”可得：SKIPIF1<0，再由等比数列定义可得：SKIPIF1<0，所以等式变为：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，经检验均符合条件答案：B例2：已知SKIPIF1<0是等差数列，且公差SKIPIF1<0不为零，其前SKIPIF1<0项和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0成等比数列，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：从“SKIPIF1<0成等比数列”入手可得：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）进行表示，从而得到SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的关系例3：已知等比数列SKIPIF1<0中的各项均为正数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______________思路：由等比数列性质可得：SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等比数列，所以SKIPIF1<0为等差数列，求和可用等差数列求和公式：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：三个数成等比数列，其乘积为SKIPIF1<0，如果第一个数与第三个数各减SKIPIF1<0，则成等差数列，则这三个数为___________思路：可设这三个数为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为SKIPIF1<0，所以有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，这三个数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，这三个数为SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。设为SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），这种“对称”的设法便于充分利用条件中的乘积与和的运算。例5：设SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0为等比数列，其公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则有（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0思路：抓住SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的序数和与SKIPIF1<0的关系，从而以此为入手点。由等差数列性质出发，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为等比数列，联想到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有关，所以利用均值不等式可得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，均值不等式等号不成立）所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0答案：B小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。例6：数列SKIPIF1<0是各项均为正数的等比数列，SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，则有（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小不确定思路：比较大小的式子为和的形式，所以以SKIPIF1<0为入手点，可得SKIPIF1<0，从而作差比较SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为正项等比数列可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：B小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。例7：设数列SKIPIF1<0是以2为首项，1为公差的等差数列，SKIPIF1<0是以1为首项，2为公比的等比数列，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：求和看通项，考虑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A例8：(2011,江苏）设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0成公比为SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0成公差为SKIPIF1<0的等差数列，则SKIPIF1<0的最小值是___________思路：可知等比数列为SKIPIF1<0，等差数列为SKIPIF1<0，依题意可得SKIPIF1<0①，若要SKIPIF1<0最小，则SKIPIF1<0要达到最小，所以在①中，每一项都要尽量取较小的数，即让不等式中的等号成立。所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，验证当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，①式为SKIPIF1<0，满足题意。答案：SKIPIF1<0例9：已知等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的正整数，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是正整数，则SKIPIF1<0等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解：本题SKIPIF1<0的通项公式易于求解，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，而处理SKIPIF1<0通项公式的关键是要解出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可取的值为SKIPIF1<0，可得只有SKIPIF1<0才有符合条件的SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0答案：D例10：SKIPIF1<0个正数排成SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列（如表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且所有的公比都相同，已知SKIPIF1