高中数学一轮复习考点专题63 立体几何中的建系设点问题 (含解析)

PAGE微专题63立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、SKIPIF1<0轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即SKIPIF1<0轴要与坐标平面SKIPIF1<0垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为SKIPIF1<0轴与底面的交点2、SKIPIF1<0轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于SKIPIF1<0轴上（2）找角：SKIPIF1<0轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足SKIPIF1<0轴成右手系，所以在标SKIPIF1<0轴时要注意。4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直SKIPIF1<0底面两条线垂直），这个过程不能省略。6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③菱形的对角线相互垂直④勾股定理逆定理：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的SKIPIF1<0点，坐标特点如下：SKIPIF1<0轴：SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴：SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴：SKIPIF1<0规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为SKIPIF1<0，即竖坐标SKIPIF1<0，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出SKIPIF1<0点的坐标，位置关系清晰明了SKIPIF1<02、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果SKIPIF1<0在底面的投影为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的SKIPIF1<0点，其投影为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，而其到底面的距离为SKIPIF1<0，故坐标为SKIPIF1<0以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点①中点坐标公式：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，图中的SKIPIF1<0等中点坐标均可计算②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求SKIPIF1<0点的坐标，如果使用向量计算，则设SKIPIF1<0，可直接写出SKIPIF1<0，观察向量SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、典型例题：例1：在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标解：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两垂直以SKIPIF1<0为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：SKIPIF1<0中点：SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。例2：在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标思路：建系方式显而易见，长方体SKIPIF1<0两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果设SKIPIF1<0等，则点的坐标都含有SKIPIF1<0，不便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。解：因为长方体SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两垂直SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为轴如图建系，设SKIPIF1<0为单位长度SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例3：如图，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面SKIPIF1<0找过SKIPIF1<0的相互垂直的直线即可。由题意，SKIPIF1<0不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择SKIPIF1<0为轴），连结SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为坐标轴如图建系：SKIPIF1<0方案二（以SKIPIF1<0为轴）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即SKIPIF1<0轴），对于SKIPIF1<0轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足SKIPIF1<0的直线为轴建立的坐标系。例4：已知四边形SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，将SKIPIF1<0翻折成SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，SKIPIF1<0是等边三角形，四边形SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0是等边三角形，可取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，则可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再在四边形SKIPIF1<0找一组过SKIPIF1<0的垂线即可建系解：取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等边三角形SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0为等边三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两垂直如图建系，设SKIPIF1<0为单位长度SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0例5：如图，已知四棱锥SKIPIF1<0的底面是菱形，对角线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的三等分点（靠近SKIPIF1<0），建立适当的直角坐标系并求各点坐标思路：由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0轴。在所有点中只有SKIPIF1<0的坐标相对麻烦，对于三等分点可得SKIPIF1<0，从而转化为向量关系即可求出SKIPIF1<0坐标解：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0菱形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两垂直以SKIPIF1<0为坐标轴如图建系可得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来例6：如图所示的多面体中，已知正方形SKIPIF1<0与直角梯形SKIPIF1<0所在的平面互相垂直，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：题目已知面面垂直，从而可以找到SKIPIF1<0与底面垂直，再由底面是正方形，可选SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，图中SKIPIF1<0点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到解：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又因为直角梯形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两垂直以SKIPIF1<0为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：SKIPIF1<0底面上的点：SKIPIF1<0SKIPIF1<0点两种确定方式：①可看其投影，落在SKIPIF1<0中点处SKIPIF1<0，且高度为1，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0②设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0例7：如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，建立适当的坐标系并确定各点坐标思路：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0可作SKIPIF1<0轴，只需在平面SKIPIF1<0找到过SKIPIF1<0的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有SKIPIF1<0坐标相对麻烦，但由SKIPIF1<0可以利用向量进行计算。解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）如图建系：则SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0SKIPIF1<0方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：由SKIPIF1<0计算可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0SKIPIF1<0小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。（相信所给的SKIPIF1<0目的也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础例8：如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点。建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标思路：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中SKIPIF1<0均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中SKIPIF1<0点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。解：SKIPIF1<0侧棱SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两垂直以SKIPIF1<0为轴建立直角坐标系底面上的点：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0为等腰三角形，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0可投影到底面上的点：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例9：如图：已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，建立适当的坐标系并求出各点坐标思路：由条件可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而以SKIPIF1<0为轴建系。难点在于求底面梯形中SKIPIF1<0的长度。可作出平面图利用平面几何知识处理。解：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两垂直，如图建系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等边三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等边三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0投影为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<