高中数学一轮复习考点专题78 定值问题 (含解析)

PAGE微专题78圆锥曲线中的定值问题一、基础知识：所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。1、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。2、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算二、典型例题：例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为SKIPIF1<0，右焦点SKIPIF1<0，双曲线的实轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线上一点（不同于SKIPIF1<0），直线SKIPIF1<0分别于直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点（1）求双曲线的方程（2）试判断SKIPIF1<0是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由解：（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且焦点在SKIPIF1<0轴上所以设双曲线方程为：SKIPIF1<0，则渐近线方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0双曲线方程为SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0同理：设SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0下面考虑计算SKIPIF1<0的值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在双曲线上SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为定值例2：已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0（1）求椭圆方程（2）设不过原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，与该椭圆交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0的斜率依次为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，试问：当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由解：（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，联立方程可得：SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0依题意可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①由方程SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0代入①可得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0为定值，与SKIPIF1<0的取值无关例3：已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0（1）求椭圆标准方程（2）设SKIPIF1<0为椭圆的右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线与以SKIPIF1<0为直径的圆交于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0的长为定值，并求出这个定值解：（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程可转化为：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0思路一：通过圆的性质可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0（设垂足为SKIPIF1<0），由双垂直可想到射影定理，从而SKIPIF1<0，即可判定SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0则SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为圆的直径SKIPIF1<0SKIPIF1<0由射影定理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0思路二：本题也可从坐标入手，设SKIPIF1<0，则只需证明SKIPIF1<0为定值即可，通过条件寻找SKIPIF1<0关系，一方面：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；另一方面由SKIPIF1<0点在圆上，可求出圆的方程SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，展开后即可得到SKIPIF1<0为定值解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为直径的圆方程为：SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4：已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，经过椭圆的左焦点SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线与椭圆交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程（2）设SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0分别与椭圆交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值解：（1）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由（1）可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，直线SKIPIF1<0与椭圆交点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0小炼有话说：本题中注意SKIPIF1<0的变形：可通过直线方程用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入后即可得到关于SKIPIF1<0的表达式例5：已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为坐标原点（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程（2）过椭圆SKIPIF1<0上异于其顶点的任一点SKIPIF1<0，作圆SKIPIF1<0的切线，切点分别为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不在坐标轴上），若直线SKIPIF1<0的横纵截距分别为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值解：（1）依SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0（2）思路：由（1）可得：SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0为过SKIPIF1<0作圆切线所产生的切点弦，所以SKIPIF1<0,从而可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由椭圆方程可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0为定值解：由（1）可得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0是过SKIPIF1<0作圆切线所产生的切点弦设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是切点可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可知对于SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的点因为两点唯一确定一条直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由截距式可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0为定值小炼有话说：（1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后SKIPIF1<0的特点整体消去SKIPIF1<0所得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。（2）本题求直线SKIPIF1<0方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同构”的特点，从而确定直线方程注：切点弦方程：过圆外一点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线，切点为SKIPIF1<0，则切点弦SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0例6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为椭圆上任意一点。过原点作圆SKIPIF1<0的两条切线，分别交椭圆于SKIPIF1<0（1）若直线SKIPIF1<0相互垂直，求SKIPIF1<0的方程（2）若直线SKIPIF1<0斜率存在，并记为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0是一个定值（3）试问SKIPIF1<0是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由解：（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0联立方程：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）思路：可设直线SKIPIF1<0，均与圆相切，可得SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）化简可得：SKIPIF1<0，可发现SKIPIF1<0均满足此方程，从而SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两根。则SKIPIF1<0，再利用椭圆方程消元即可得到定值解：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0化简可得：SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两根SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）思路：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由第（2）问所得结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将SKIPIF1<0坐标分别用SKIPIF1<0进行表示，再判断SKIPIF1<0是否为定值解：当SKIPIF1<0不在坐标轴上时，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0在坐标轴上（不妨设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴）上，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述，SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0例7：已知椭圆SKIPIF1<0，称圆心在原点，半径为SKIPIF1<0的圆为椭圆SKIPIF1<0的“准圆”，若椭圆SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，其短轴上的一个端点到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程及其“准圆”方程（2）点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的“准圆”上的动点，过点SKIPIF1<0作椭圆的切线SKIPIF1<0交“准圆”于点SKIPIF1<0①当点SKIPIF1<0为“准圆”与SKIPIF1<0轴正半轴的交点时，求直线SKIPIF1<0的方程并证明SKIPIF1<0②求证：线段SKIPIF1<0的长为定值解：（1）依题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）①由（1）可得SKIPIF1<0，设切线方程为：SKIPIF1<0联立方程：SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0②设SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0整理后可得：SKIPIF1<0同理，对于设切线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在“准圆”上SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0为“准圆”的直径SKIPIF1<0为定值，SKIPIF1<0例8：已知点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程（2）直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0经过原点SKIPIF1<0的弦，且SKIPIF1<0，问是否存在正数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值？若存在，请求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由左焦点SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的另一核心要素为斜率SKIPIF1<0（假设SKIPIF1<0存在），通过SKIPIF1<0可联想到弦长公式，所以分别将直线SKIPIF1<0的方程与椭圆方程联立，进而SKIPIF1<0为关于SKIPIF1<0的表达式，若SKIPIF1<0为常数，则意味着与SKIPIF1<0的取值无关，进而确定SKIPIF1<0的值设直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，联立方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以若SKIPIF1<0是个常数，SKIPIF1<0也为SKIPIF1<0的形式，即SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0，当直线斜率不存在时，可得SKIPIF1<0符合题意SKIPIF1<0小炼有话说：本题在判断SKIPIF1<0的取值也可通过精确的计算得到，通过分式变形化为只有一项含SKIPIF1<0的表达式：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的值与SKIPIF1<0无关，则SKIPIF1<0例9：如图，已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，以椭圆SKIPIF1<0的左顶点SKIPIF1<0为圆心作圆SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）求SKIPIF1<0的最小值，并求此时圆SKIPIF1<0的方程（3）设点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的任意一点，且直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，求证：SKIPIF1<0为定值．解（1）圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为：SKIPIF1<0（2）由圆与椭圆关于SKIPIF1<0轴对称可得：SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0在椭圆上（非长轴顶点）SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，代入到圆方程可得：SKIPIF1<0（3）思路：依图可知所SKIPIF1<0可翻译为坐标运算即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点，可设出SKIPIF1<0，从而结合SKIPIF1<0和SKIPIF1<0计算出SKIPIF1<0的方程，从而SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0进行表示，再根据椭圆方程SKIPIF1<0进行消元即可。解：设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，可解得：SKIPIF1<0同理可解得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0