江西省宜丰县宜丰中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题

2023-2024（上）江西省宜丰中学高三10月月考数学试卷一、单选题（40分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（

）A． B． C． D．3．在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．4．已知圆关于直线对称，则的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．5．以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2，若点P在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．8．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题（20分）9．已知直线，则（

）A．若，则 B．若，则C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限10．已知圆，直线，则（

）A．直线恒过定点B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1C．直线与圆有一个交点D．若圆与圆恰有三条公切线，则11．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称12．已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（

）A． B．函数是奇函数C．对，有 D．若，则三、填空题（20分）13．在等差数列中，已知，则该数列前项和．14．已知三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的体积为.15．设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为.16．已知，若关于x的不等式恰好有6个不同的实数解，则a的取值范围是．四、解答题（70分）17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长.18．已知圆M过，，且圆心M在直线上.(1)求圆M的标准方程；(2)过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程；19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．(1)证明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．20．设数列的前n项和为，．(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．(2)若数列的前m项和，求m的值，21．已知函数，，为函数的导函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若方程在上有实根，求的取值范围.22．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点得，求实数的取值范围.2023-2024（上）江西省宜丰中学高三10月月考数学参考答案123456789101112BCCDBDADBCDADACDAB7．A【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减且，所以，且在上单调递减又，所以，而，，所以，所以.8．D【详解】设，由题设条件，得，故函数在上单调递减.由为奇函数，得，得，所以，不等式等价于，即，又函数在上单调递11．ACD【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以，对于B，当时，，所以，所以的值域为，故B错误；对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．故选：ACD．12．AB【详解】对于A，令，则有，，正确；对于B，因为的定义域为，因为对于，，当时，令，则有，当时，，所以是奇函数，正确；对于C，由B知，当时，，错误；对于D，，令，，则有，，令，则，，是首项为1，公差为1的等差数列，，即，，令…①，则…②，①-②得：，故，错误；故选：AB.14．15．11【详解】由题意可得，，所以,因为，所以;因为，所以.故答案为：11.16．.【详解】设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以函数的图象，如图（1）所示，关于x的不等式恰好有6个不同的实数解，等价于在区间内有2个不同的实根，即的图象与在内有2个不同的交点，又由函数的大致图象，如图（2）所示，则，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.17．详解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为.18．1)圆心在直线上，设圆的标准方程为：，圆过点，，，解得圆的标准方程为(2)①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意②当斜率存在时，设直线m：，圆心M到直线m的距离为根据垂径定理可得，，，解得直线m的方程为或.19．【详解】（1）在四边形中，，取中点，连接，由，得，则四边形是平行四边形，又，因此是矩形，即有，有，，从而，即，而平面，平面，则，又平面，于是平面，而平面，所以.

（2）由（1）知两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，依题意，，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得，因此，显然二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.20．【详解】（1）因为，所以当时，，解得．当时，，则，整理得，故，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．所以（2），数列的前m项和，则，则，则，解得，故m的值为7．21．【详解】（1），令，则当时，，函数在上单调递增；当时，，得，，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，，方程在上有实根等价于方程在上有实根.令，则当时，，函数在上单调递增，，不合题意；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，，不合题意；当时，，得，，得，所以