2021年福建省福州市金桥私立中学高三数学文联考试题含解析

2021年福建省福州市金桥私立中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数,定义函数给出下列命题:①;②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是（）A．② B．①② C．③ D．②③参考答案：D2.如图是某学生的8次地理单元考试成绩的茎叶图，则这组数据的中位数和平均数分别是(

)A．83和85

B．83和84C．82和84

D．85和85参考答案：A3.在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2，类比上述结论可得log2[2＋log2(2＋log2(2＋…))]的正值为A.1

B.

C.2

D.4参考答案：C4.若实数满足条件，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象(

)A．关于点对称

B．可由函数的图象向右平移个单位得到

C．可由函数的图象向左平移个单位得到

D．可由函数的图象向左平移个单位得到

参考答案：C

是奇函数且为奇函数则为偶函数，解得此时故函数可由函数的图象向左平移个单位得到知识点：奇函数的性质，三角函数的变换

难度：36.如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．参考答案：D取的中点，连接，，，设，则，，所以，连接，，因为，所以异面直线与所成角即为，在中，，故选D．7.一段“三段论”推理是这样的：对于函数，如果，那么是函数的极值点．因为函数满足，所以是函数的极值点.以上推理中（

）A.小前提错误

B.大前提错误

C.推理形式错误

D.结论正确参考答案：B8.将函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到2sin（x+m﹣）=2sin（﹣x+m﹣），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m的值，从而得到最小值．【解答】解：y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）然后向左平移m（m＞0）个单位后得到y=2sin（x+m﹣）的图象为偶函数，关于y轴对称∴2sin（x+m﹣）=2sin（﹣x+m）∴sinxcos（m）+cosxsin（m）=﹣sinxcos（m）+cosxsin（m）∴sinxcos（m）=0∴cos（m）=0∴m=2kπ+，m=．∴m的最小值为．故选A．【点评】本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式．注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移．9.已知，满足，若目标函数的最大值为10，则z的最小值为（

）． A．－4 B．－5 C．4 D．5参考答案：D解：不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，则由图像可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，为，由，解得，即，此时在上，则，当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即，此时．10.设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最小值为（

）A.1 B.

6 C．12 D.3参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线（＞0,＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为

；渐近线方程为

.参考答案：12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最小值是

．参考答案：，，,

,

,

当且仅当时成立.

13.（不等式选讲）关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围_______________.参考答案：略14.在等比数列＞0，且的最小值为________.参考答案：15.已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣4，则点M的坐标为．参考答案：（﹣1，3）【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求导函数，令其值为﹣4，即可求得结论．【解答】解：∵y=2x2+1，∴y′=4x，令4x0=﹣4，则x0=﹣1，∴y0=3∴点M的坐标是（﹣1，3）故答案为：（﹣1，3）【点评】本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．16.已知函数则=

参考答案：17.如图，在四边形ABCD中，＝5，BD＝4，O为BD的中点，且＝，则＝

▲

．参考答案：－3在中，由余弦定理可得：，由题意可得：，，故.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知p：≥1，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．参考答案：由，得﹣2＜x≤10．......................................3由，得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．...............6∵p是q的充分而不必要条件，即p是q的必要不充分条件．.................8∴解得............................................1219.（本小题12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

(1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；

(2)任选3名教师，记为3人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望．参考答案：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

………1分（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是．

…………4分（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是

．

…………5分因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布，

…………6分且，，

…………8分即的分布列是01230.7290.2430.0270.001……10分所以，的期望是．

………12分（或的期望是．）20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．参考答案：证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…因为PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…因为PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE∥PC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明PA⊥DE，再证明PA⊥OE，可得PA⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面PAB．解答：证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…因为PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…因为PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）点评：本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21.已知平面上的动点R（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线RA、RB斜率分别为k1、k2，且k1?k2=﹣，设动点R的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点S（4，0）的直线与曲线C交于M，N两点，过点M作MQ⊥x轴，交曲线C于点Q．求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由题知x≠±2，且，，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x2，y2），由对称性知M（x2，﹣y2），由，得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，由此利用根的判别式，韦达定理、三点共线，结合已知条件能证明直线NQ过定点D（1，0）．【解答】（Ⅰ）解：由题知x≠±2，且，，则，﹣﹣﹣整理得，曲线C的方程为．（Ⅱ）证明：设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x2，y2），由对称性知M（x2，﹣y2），由消x得：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，所以△=48（3m2+4﹣t2）＞0，故，由M、N、S三点共线知kNS=kMS，即，所以y1（my2+t﹣4）+y2（my1+t﹣4）=0，整理得2my1y2+（t﹣4）（y1+y2）=0，所以，即24m（t﹣1）=0，t=1，所以直线NQ过定点D（1，0）．22.某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，…，5），且pi=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A．利用独立重复试验求得概率．（2）写出X的所有可能取值并求得其概率和分布列．【解答】解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件Ai，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B，事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C；则，，…（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A，则：A=A1CA2C×∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为；…（2）X的所有可能取值为：0，3000，6000，8000，12000，24000；P（X=3000）=P（A1）=；P（X=6000）=P（A1CA2）=××（）2=；P（X=8000）=P（A1CA2CA3）=；P（X=12000）=P（A1CA2CA3CA4）=；P（X=24000）=P（A