2022-2023学年山西省大同市南洋国际学校高三数学理测试题含解析

2022-2023学年山西省大同市南洋国际学校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是(

)A.

B.C.

D.参考答案：D2.已知函数f（x）=2sin（ωx+）的图象与x轴交点的横坐标，依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）是奇函数B．g（x）的图象关于直线x=﹣对称C．g（x）在[，]上的增函数D．当x∈[，]时，g（x）的值域是[﹣2，1]参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性、定义域和值域，得出结论．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）的图象与x轴交点的横坐标，依次构成一个公差为的等差数列，∴==，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+）．把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故g（x）是偶函数，故排除A；当x=﹣时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B；在[，]上，2x∈[，π]，故g（x）在[，]上的减函数，故排除C；当x∈[，]时，2x∈[]，当2x=π时，g（x）=2cos2x取得最小值为﹣2，当2x=时，g（x）=2cos2x取得最大值为1，故函数g（x）的值域为[﹣2，1]，故选：D．3.已知函数在区间上是减函数，则范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：因为是开口向上，对称轴为的抛物线，所以函数的单调递减区间为，又因为函数在区间上是减函数，所以，即，故答案为．考点：二次函数的单调性．4.已知函数的部分图像如图所示，则要想得到的图像，只需将的图像

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：D5.已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为()参考答案：C略6.已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长的最大值为（）A．10 B．2 C．4 D．3参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出2x+y的最小值，结合2x+y+k≥0恒成立求得k的范围，再由直线与圆的关系可得当k=6时，直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长最大，从而求得最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣6．由2x+y+k≥0恒成立，得﹣k≤2x+y恒成立，即﹣k≤﹣6，则k≥6．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心（1，2）到直线2x+y+k=0的距离d=，当k≥6时，d．∴当d=时，直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长最大，为2．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．7.已知函数满足，且当时，成立，若，的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知椭圆的焦点为，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得的点M的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.在正项等比数列中，,,数列满足,则数列的前6项和是（）A．0

B．2

C．3

D.5参考答案：C

10.如图所示，在边长为的菱形中，，对角线相交于点是线段的一个三等分点，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为．以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，则圆心C到直线l距离为．参考答案：【考点】：直线的参数方程；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；再代入点到直线的距离公式即可得到答案．解：因为直线l的参数方程为．∴消去参数t可得直线的普通方程为：y=（x+3）?x﹣y+3=0．又因为圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0；所以：圆的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+3=0，即：（x﹣2）2+y2=1；圆心为（2，0），半径为1．故圆心到直线的距离为：=．故答案为：．【点评】：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．12.设向量，满足|+|=，|﹣|=，则?=．参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】将已知的两个等式分别平方相减即得．【解答】解：由已知得到|+|2=15，|﹣|2=11，即=15，=11，两式相减得到4，所以=1；故答案为：1．【点评】本题考查了平面向量的模的平方与向量的平方相等的运用．属于基础题．13.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则

.参考答案：14.设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为_________

___（结果用数字表示）．参考答案：144略15.实数x，y满足条件，则函数z=x+5y的最大值为

．参考答案：4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】作出平面区域，解出点A的坐标，代入求最大值．【解答】解：作出平面区域如图：则过点A时函数z=x+5y有最大值，由解得，x=，y=，则函数z=x+5y有最大值为+5×=4．【点评】本题考查了线性规划，及学生的作图能力，属于基础题．16.直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率

.参考答案：17.如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，，则=_________.参考答案：30三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.（I）求角C的值；（II）若，且△ABC的面积为，求a,b.参考答案：（I）（II）（I），故，则，展开得：，即，（II）三角形面积为，故由余弦定理：，故19.（本小题满分14分）已知函数f（x）＝－1，，其中e是自然对数的底，e＝2.71828…。（1）证明：函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间（1,2）上有零点；（2）求方程f（x）＝g（x）根的个数，并说明理由；（3）若数列{}（）满足为常数），，证明：存在常数M，使得对于任意，都有参考答案：解：（1）由h（x）＝f（x）－g（x）＝－1－，得：h（1）＝e－3＜0，h（2）＝e2－2－＞0，所以函数h（x）在区间（1,2）上有零点。（2）由（1）得：h（x）＝－1－由知，，而，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点。解法1：－1，记－1，则.当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点.有且只有两个零点.所以，方程f（x）＝g（x）根的个数为2。（3）记的正零点为，即.（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：.下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立.故对任意的，成立.（2）当时，由（1）知，在上单调递增.则，即.从而，即，由此猜测：.下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立.故对任意的，成立.综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.20.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，直线的方程（为参数），以原点为极点，轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C的方程为，(I) 求曲线C的直角坐标方程；(II)

设曲线C与直线交于A、B两点，若，求和|AB|.参考答案：(Ⅰ)……………….2分（2）直线的方程代入得，……4分，由参数的几何意义得..………….10分21.在中，分别是角的对边，已知．（Ⅰ）若，求的大小；（Ⅱ）若，的面积，且，求．参考答案：略22.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（1）

求证：CE⊥平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积参考答案：:(1)证明:因为PA⊥平面AB