2022-2023学年山东省青岛市胶州第十四中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年山东省青岛市胶州第十四中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是A.甲和乙

B.乙和丙

C.丁和戊

D.甲和丁参考答案：D2.对实数和，定义运算“”：设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是(

)．A．B．C．D．参考答案：B3.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为()A. B. C. D.参考答案：B【分析】设椭圆的两个焦点为,,圆与椭圆交于,,,四个不同的点,设,则,．由椭圆的定义知,根据离心率公式求得答案．【详解】解：设椭圆的两个焦点为,,圆与椭圆交于,,,四个不同的点,设,则,．椭圆定义,得,所以,故选：B．

4.在复平面内，复数对应的点的坐标为A．(1,3)

B．(3,1)

C．(-1,3)

D．(3,-1)参考答案：A本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A．5.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合．B3B4

【答案解析】B

解析：A．在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立．B．为偶函数，当x＞0时，=x+1，为增函数，满足条件．C．为偶函数，当x＞0时，函数为减函数，不满足条件．D．在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立．故选：B．【思路点拨】根据偶函数和单调性的定义分别进行判断即可．6.已知直线上存在点满足则实数的取值范围为（

）A．(-，)

B．[-，]

C．

D．

参考答案：D7.若x、y满足条件,且当x=y=3时,z=ax+y取最大值，则实数a的取值范围是（

）

A．（-）

B．（-∞，-）∪（，+∞）

C．（）

D．（-∞，-）∪（，+∞）参考答案：C8.某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力识图能力由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为时，则他的识图能力为．

．

．

．参考答案：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当时，，即他的识图能力为．故选．【解题探究】本题考查统计知识中的线性回归方程的应用．解题关键是求出线性归回方程中的值，方法是利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上．9.已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为

A．4

B．4

C．5D．6参考答案：A略10.以椭圆的两焦点为直径端点的圆与椭圆有四个交点，则椭圆的离心率的变化范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平行四边形ABCD中，已知，，，若，，则____________．参考答案：【分析】设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．【详解】由题意，如图所示，设，则，又由，，所以为的中点，为的三等分点，则，，所以．【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．12.已知集合，集合，则.参考答案：略13.若是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为

．参考答案：

14.已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知，则______________.参考答案：16.如图3，是的直径，是的切线，与交于点，若，，则的长为

．参考答案：4由切割弦定理，得，又因为，所以，则。17.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上的一点，若，则

▲

.参考答案：答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c．已知sinAsinC=，b2=ac．（1）求角B的值；（2）若b=，求△ABC的周长．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）由b2=ac，利用正弦定理，结合sinAsinC=，求出sinB，即可求角B的大小．（2）由已知利用余弦定理可求a+c的值，进而可求周长的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为b2=ac，所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC．因为sinAsinC=，所以sin2B=．因为sinB＞0，所以sinB=．因为0＜B＜，所以B=．…（2）因为：B=，b=，b2=ac所以：由余弦定理可得：3=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣9，解得：a+c=2，所以：△ABC的周长为：a+b+c=2+=3…19.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面直线，求证：直线.参考答案：（1）证明：取线段的中点，连接在直角梯形中，由条件易得，又因为，为中点，所以，因为平面，且所以平面，故（2）解：由条件可知在梯形中，，平面，平面，所以平面又因为平面，平面平面所以.20.已知函数，不等式的解集为M.（1）求M；（2）记集合M的最大元素为m，若a、b、c都是正实数，且.求证：.参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）分、、三种情况，去绝对值解不等式，可得出集合；（2）由（1）知，，则，然后将代数式与相乘，利用柯西不等式可证明出.【详解】（1）.当时，，解得，此时；当时，，解得，此时；当时，，解得，此时.故不等式的解集为，因此，集合；（2）由（1）可知，，由柯西不等式得，即，当且仅当时，即当，，时取等号.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用柯西不等式证明三元不等式，解题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有两个零点，求a的取值范围．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】(1)将a=1代入函数，再求导即可得单调区间；(2)法一：先对函数求导：当时，在上是减函数，在上是增函数，且x=1为的极值点，当所以，，当，所以此时有两个零点；当时，函数只有一个零点；当时，再分成三种情况，，三种情况进行讨论，最后取并集即得a的范围。法二：分离参变量，每一个a对应两个x，根据新构造的函数单调性和值域，找到相应满足条件的a的范围即可。【详解】(1)当令，可得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增。所以函数减区间在区间，增区间(2)法一：函数定义域为，，则⑴当时，令可得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增。且，当；当所以所以有两个零点.，符合⑵当，只有一个零点2，所以舍⑶设，由得或，①若，则，所以在单调递增，所以零点至多一个.（舍）②若，则，故时，，当时，，所以在，单调递增，在单调递减。又，要想函数有两个零点，必须有，其中.又因为当时，，所以故只有一个零点，舍③若，则，故时，，；当时，，所以在，单调递增，在单调递减。又极大值点，所以只有一个零点在（舍）综上，的取值范围为。法二：，所以不是零点.由，变形可得.令，则，即当，；当，.所以在递增；在递减.当时,,当时，.所以当时，值域为.当时,,当时，.所以当时，值域为.因为有两个零点，故的取值范围是故的取值范围是.【点睛】这是函数的零点问题，可用讨论含参函数的单调性或者参变量分离的方法。22.在平面直角坐标系xOy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．⑴求曲线的方程；⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．参考答案：（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，所以圆的半径为，点，则直线