2022年北京第二十七中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年北京第二十七中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集,集合A={-1，1，2},B={-1,1},则A.{1}

B.{2}

C.{1，2}

D.{-1，1}参考答案：B略2.“平面α内的两条直线与平面β都平行”是“平面α与平面β平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据面面平行的判定定理结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若平面α与平面β平行，则平面α内的两条直线与平面β都平行，即必要性成立，若平面α内的两条直线与平面β都平行，若两条直线不相交，则平面α与平面β平行不一定成立，即充分性不成立，故“平面α内的两条直线与平面β都平行”是“平面α与平面β平行”的必要不充分条件，故选：B．3.设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为、，则下列关于、的关系式不正确的是()A．

B．

C．

D.参考答案：A5.若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；③“λ～特征函数”至少有一个零点；④f（x）=ex是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用新定义“λ～特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案解答：解：对于①，设f（x）=C是一个“λ～特征函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ～特征函数”，故①不正确；对于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=﹣2λ﹣λ，∴当λ=﹣1时，f（x+λ）+λf（x）=﹣2≠0；λ≠﹣1时，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”，故②正确；对于③，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）?f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“λ～特征函数”必有根，即任意“λ～特征函数”至少有一个零点，故③正确．对于④，假设f（x）=ex是一个“λ～特征函数”，则ex+λ+λex=0对任意实数x成立，则有eλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ex是“λ～特征函数”，故④正确故结论正确的是②③④，故选：C点评：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ～特征函数的概念是关键，属于中档题6.的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】向量在几何中的应用．F2F3A

解析：因为3+4+5=，所以，所以，因为A，B，C在圆上，所以．代入原式得，所以==．故选：A．【思路点拨】先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．7.若集合，，则集合不可能是A．B．

C．

D．参考答案：D略8.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A9.某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（

）A.3 B. C. D.参考答案：D【分析】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥，再计算各条棱的长度，即可得答案；【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥

，，，，，，该几何体的最长棱的棱长为，故选：D.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.10.曲线在x=1处切线的倾斜角为（A）1

B.

（C）

（D）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为

．参考答案：75°由，根据正弦定理得，即，，又，，故答案为75°.

12.（5分）已知数列{an}中，a1=3，an+1=+1，则a2014=．参考答案：【考点】：数列递推式．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：由题意可知{an﹣1}为周期数列且周期为2，a1﹣1=2，即可求出答案解：∵，∴{an﹣1}为周期数列且周期为2，a1﹣1=2，∴a2014﹣1=a2﹣1=，∴．故答案为：．【点评】：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．13.已知正数x，y满足：x+4y=xy，则x+y的最小值为

．参考答案：9

考点：基本不等式.14.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是

．参考答案：（0,2）15.已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（2，0），则p=

；若已知点A（6，3），且点M在抛物线C上，则|MA|+|MF|的最小值为

．参考答案：4；

8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的焦点坐标，真假求解P即可；判断A的位置，利用抛物线的性质求解|MA|+|MF|的最小值．【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（2，0），则p=4；已知点A（6，3），且点M在抛物线C：y2=8x上，可知A的抛物线内部，则|MA|+|MF|的最小值为M到抛物线的准线的距离；抛物线的准线方程为：x=﹣2，则|MA|+|MF|的最小值为：8．故答案为：4；

8．16.设等比数列的前项和为，若则

参考答案：3略17.若函数为奇函数，则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．（1）若点是的中点，求证：平面（2）若是线段的中点，求三棱锥的体积.

参考答案：（1）详见解析;（2）1试题分析：（1）设相交于点，连接.由中位线可得根据线面平行的判定定理即可得证平面.（2）由面面垂直的性质定理可得平面,则可将棱锥的顶点转化为以点.由勾股定理可得.根据棱锥体积公式即可求其体积.试题解析：解：（1）证明：设，连接，由三角形的中位线定理可得：,

3分∵平面，平面，∴平面．

6分（2）∵平面平面，∴平面，∴,∴

8分又∵是的中点，是正三角形，∴，∴，

10分又平面平面，，∴平面，∴

-12分考点：1线面平行;2面面垂直;3棱锥的体积.19.（本小题满分12分），

已知函数的定义域为不等式的解集，且咋定义域内单调递减，求实数的取值范围。参考答案：20.(本题满分15分）已知抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，过作抛物线准线的垂线，垂足为．（1）若点与点的连线恰好过点，且，求抛物线方程；（2）设点在轴上，若要使总为锐角，求的取值范围．参考答案：解（1）由题意知：，，为的中点，

，且点在抛物线上，代入得

所以抛物线方程为．…………5分（2）设，，根据题意：为锐角且，

，

所以得对都成立令对都成立………………9分（1）若，即时，只要使成立，

整理得：，且，所以．……11分

（2）若，即，只要使成立，得

所以……13分由（1）（2）得的取值范围是且．……15分21.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[59,101]范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在[71,89)内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：直径分组[59,65)[65,71)[71,77)[77,83)[83,89)[89,95)[95,101]甲基地频数1030120175125355乙基地频数5351151651106010

（1）根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有95%以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？

甲基地乙基地合计优质品

非优质品

合计

（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)：（3）经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差，乙基地的500个桔柚直径的样本方差，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.附：，.P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828

若，则.，.参考答案：（Ⅰ）由以上统计数据填写2×2列联表如下：

甲基地乙基地合计优质品420390810非优质品80110190合计5005001000

，所以,有95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异”．（Ⅱ）甲基地水果的优质品率为，甲基地水果的优质品率为，所以，甲基地水果的优质品率较高，甲基地的500个桔柚直

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直径，所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为.22.从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“AR扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），除夕夜22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就除夕夜22:18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：

是否合计男301040女35540合计651580（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.参考公式：.附表：0.500.4