2021高考数学全国卷1卷试题及答案详解

绝密★启用前

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

满分150分.用时120分钟.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若z=l+i,则归-2z|=

A.0B.1C.y/2D.2

2.设集合让卜,一打。},8={x|2x+aV0},且4nB={x|-2M1},则“=

A.-4B.-2C.2D.4

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为

一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该

四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高

与底面正方形的边长的比值为

.75-1x/5-l「x/5+l

A.--------nD---------C.--------

424

4.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12,到)，轴的距离为9,

贝(Ip=

A.2B.3C.6D.9

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：。C)的关系，在20个不

同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(七,y,)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图示意：

由此散点图，在10C至40c之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方

程类型的是

A.y=a+hxB.y=a+bx2C.y=a+be'D.y=a+b\nx

6.函数=的图像在点处的切线方程为

A.y=-2x-lB.y=-2x4-1C.y=2x-3D.y=2x+1

7.设函数/(x)=cosjs+4在卜》，句的图像大致如下图，则/(x)的最小正周期为

2

8.(x+vL)(x+y)5的展开式中x、3的系数为

X

A.5B.10C.15D.20

9.已知cr£(0,乃)，且3cos2a-8cosa=5,则sinc=

Bc.1

-13

10.已知A,B,。为球O的球面上的三个点，为人钻。的外接圆.若O。的面积为44，

AB=BC=AC=OOr则球O的表面积为

A.647rB.48万C.36万D.321

11.已知。M:d+y2一2x—2y_2=0,且直线/：2x+y+2=0,尸为/上的动点，过点。作QW的

切线24,PB,切点为A,B,当帜闿小即最小时，直线45的方程为

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0C.2x-y+\=0D.2%+y+l=0

12.若2"+log2〃=4"+210g",贝ij

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2x+y-2W0

13.若羽y满足约束条件r-y-lNO，则z=x+7y的最大值是,

j+l>0

14.设°,方为单位向量，且.=则,一耳=.

15.己知尸为双曲线C:=-方=1(4>0,方>0)的右焦点，A为C的右

顶点，B为C上的点，且所垂直于x轴.若AB斜率为3,则C的离心率

为.

16.如图所示，在三棱锥的平面展开图中AC=1,AB=AD=6

ABYAC,ABA.AD,ZCAE=3(),WOcosZFCB=.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第

17~21题为必考题，每个试题考生都须作答.第22、23题为选考题，

(-)必考题：共60分.

17.(12分)设｛q｝是公比不为I的等比数列，q为电，出的等差中项.

(1)求｛““｝的公比；

(2)若4=1,求数列｛〃〃“｝的前项和.

18.(12分)如图所示，。为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE^AD.AABC

是底面的内接正三角形，P为。。上一点，PO巫DO.p

/!\

(1)证明：A4_L平面P8C；/।\

(2)求二面角8-PC—E的余弦值.//।\

19.(12分)A”

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空

者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛,

直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

2

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

20.(12分)已知分别为椭圆E：r+>2=1(。>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，而•丽=8.P

a'

为直线x=6上的动点，P4与E的另一交点为C,PB与E的另一交点、为D.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

21.(12分)已知函数=e*+如2-x.

(1)当4=1时，讨论“X)的单调性；

(2)当xNO时，/(x)>|x3+l,求〃的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计

分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

k

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为x=c°s'(［为参数)，以坐标原点为极点，x轴

y=sint

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

4/?cosg-16/7sin，+3=0，

(1)当％=1时，q是什么曲线？

(2)当左=4时，求G与C2的公共点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

己知函数〃x)=|3x+l|+2|x-l|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)求不等式〃x)>/(x+l)的解集.

参考答案

一、选择题

1-5DBCCD6-WBCCAA11.012.8

二、填空题

13.114.7315.216.--

4

三、解答题

17.解：(1)设｛凡｝的公比为q,由题设得2%=/+%，即24=44+442

Aq2+q-2=0,解得q=l(舍去)或g=-2.，｛4,｝的公比为一2.

(2)记S“为｛〃见｝的前〃项和，由(1)及题设可知%=(—2)”\

:.S“=l+2x(—2)+…+〃x(—2广①

-2S„=-2+2x(-2)2+…+(〃-1)x(-2)”②

由①②得35底=1+(―2)+(—2,H---F(―2)—nx(—2)

=—〃'(—2)

T1(3〃+1)(-2)"

•・s“一§9—

18.解：(1)设=由题设可得

PO=-a,AO=^-a,AB=a,PA=PB=PC=^-a,

632

P^+PB2^AB2,：.PALPB,

又弘2+=AC?...PAcc

...平面PBC

(2)以0为坐标原点，砺方向为y轴正方向，同为单位长,

建立如图的空间直角坐标系O一肛z.

(G1

由题设可得£(0,1,0),A(0,-l,0),C--,-,0

L22

pfo,o,—\：,EC「811一01毋

一-丁,一不0,EP。.-F

<2,I22J

设机=(%y,z)是平面PCE的一个法向量，则

V2

_yd---z=0n

m•EP=0(百厂)

即＜L2,取m=

m-EC=OV313

----x——y=0nI)

22

由(1)知AP=是平面PCB的一个法向量,

n-m_2\/5

记"=AP,贝”cos(〃,/〃)

|n|-|m|5

二面角3-PC—E的余弦值为

19.解：(1)甲连胜四场的楼率为」

16

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为」-；乙连胜四场的概率为丙上场后连胜三场的概率为

16168

1113

，需要进行第五场比赛的概■率为1-----------=一.

161684

(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为,；比赛五场结束且丙最

8

终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜,

负空胜胜，概率分布为」

1688

丙最终获胜的^率为1+-!-+'+!=工.

8168816

20.解：(1)由题设得A(—a,0),6(a,0),G(0,l),

AG=1)

由而•6后=8得/-1=8,即a=3,

E的方程为---1-y~1.

9-

(2)设。(X,凹),£)(工2，必)，尸(61).

若twO,设直线CD的方程为x=+由题意可知一3<〃<3.

由于直线Q4的方程为y=^(x-3),所以y=；(内+3).

直线的方程为

P3y=?x-3),.•.%=1(X2-3).

3%(％-3)=%(％+3).

•吟+货=1,...左=_值+3)(&-3)

整理得27必%=一（玉+3）（马+3）,

即(27+加2)必％+加(〃+3)(必+%)+(〃+3)2=0①

2

JC/\

将工=冲+〃代入§+)3=1得(加之+9)y2+2nmy+n2—9=0

2mn〃2一9

X+%

nr+9m2+9

d弋入①得(27+/I?)(〃2—9)-2加(〃+3)〃2〃+(〃+3)2(m2+9)=0

3

解得〃=一3(舍去)或〃=—

2

直线CO的方程为X=冲+g...直线CO过定点(g,0).

若r=0,则直线CD的方程为y=0,过点（^,0）.

综上，直线CO过定点

21.解：（1）当。=1时，/（X）=ex+x2-x,/*（x）=ex+2x-l.

故当X£（-OO,0）时，/'（X）<0；当X£（0,+8）时，/（x）>0.

/./（X）在（一8,0）单调递减，在（0,+0。）单调递增.

（2）/（Qzgv+i等价于［g%3—办2+彳+1）-，W1.

设函数g(x)-OX?4-X4-lj^~V(X>0),则

g(X)=一_^>^2+X+1——+26LX—])”

=-gx[x之一(2〃+3)1+4〃+2]6-*

=-^x(x-2a-l)(x-2)e~x

(i)若2a+lW0,即a4—；时，则当xe(0,2)时g'(x)>0,.••g(x)在(0,2)单调递增.

V,故当故£(0,2)时,g(x)>1,不合题意.

若即一,则当了£(々+时且'(无)<

(ii)(g(0)=00<21+1<2,0,21)|<>|(2,+8)0,

当xe(2a+1,2)时g'(x)>0.

・・・才(/)在(0,2々+1),(2,+8)单调递减；在(2Q+1,2)单调递增.

7一.2

・.・g(0)=l,・・・g(x)〈l当且仅当g(2)=(7-4〃)，2<i,即------.

当士

4

则

(iii)若2。+122即。2,时,g(x)W&d+x+i

2

VOe^^,-1故由(ii)可得(JV+x+neTKl,

L42)12J

・••当a2；时，g(x)<1.

72\

综上，。的取值范围为------,-KO.

L4)

x=cosz