中考数学复习满分突破（全国通用）：专题20 等腰三角形（原卷版）

专题20等腰三角形【考查题型】【知识要点】知识点一垂直平分线垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。考查题型一垂直平分线的性质典例1．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．7变式1-1．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（

）A．13 B．14 C．15 D．16变式1-2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（

）A． B．若，则C． D．变式1-3．（2022·山东济南·中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（

）A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB变式1-4．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（

）A． B．C． D．变式1-5（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（

）A． B．4 C．6 D．变式1-6．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（

）A． B． C． D．变式1-7．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（

）A． B．5 C．10 D．20变式1-8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形变式1-9．（2022·西藏·中考真题）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：（1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为_____．变式1-10．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝_____．变式1-11．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝3．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN．若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是_____．变式1-12．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．变式1-13．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则_________．变式1-14．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，已知中，，，．(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．变式1-15．（2021·广东·中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．（1）若，求的周长；（2）若，求的值．变式1-16．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．知识点二等腰三角形等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形性质：1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）【补充】利用三角形的全等可证明上述定理：已知等腰△ABC作顶角的平分线作底边的垂线作底边的中线∵AB=AC∠1=∠2AD=AD∵AB=ACAD⊥BCAD=AD∵AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABC≌△ACD（SAS）∴△ABC≌△ACD（HL）∴△ABC≌△ACD（SSS）∴∠B=∠CBD=DCAD⊥BC∴∠B=∠CBD=DC∠1=∠2∴∠1=∠2∠B=∠CAD⊥BC等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。考查题型二等腰三角形的性质典例2．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm变式2-1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（

）A．32 B．24 C．16 D．8变式2-2．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm变式2-3．（2022·海南·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（

）A． B． C． D．变式2-4．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°变式2-5．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°变式2-6．（2022·黑龙江·中考真题）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3变式2-7．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（

）A．8 B．6 C．5 D．4变式2-8．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．变式2-9．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．变式2-10．（2022·广西贵港·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．变式2-11．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．变式2-12．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．变式2-13．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．变式1-14．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．变式2-15．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ变式2-16．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．变式2-17．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．(1)求证：；(2)若，求的度数．变式2-18．（2022·山东淄博·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．考查题型三等腰三角形的判定典例3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5变式3-1．（2021·贵州铜仁·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．变式3-2．（2022·四川雅安·中考真题）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为_____．变式3-3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．变式3-4．（2021·湖北黄冈·中考真题）在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是____．考查题型四等腰三角形的性质与判定典例4．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．变式4-1．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则变式4-2．（2022·广西桂林·中考真题）如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（

）A． B．1+ C．2 D．2+变式4-3．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（）A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°变式4-4．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．变式4-5．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（

）A． B． C． D．变式4-6．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．变式4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，直线，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（

）A．60° B．70° C．80° D．90°变式4-8．（2022·湖北荆门·中考真题）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为(

)A．20 B．60 C．30 D．30变式4-9．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．变式4-10．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则_________．变式4-11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为_____．变式4-12．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．(1)求证：．(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。等边三角形的性质：1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质；2）有三条对称轴；3）每个内角都是60°等边三角形的判定：1）三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半考查题型五等边三角形的性质典例5．（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（

）A． B． C． D．变式5-1．（2022·四川南充·中考真题）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．变式5-2．（2022·山东青岛·中考真题）如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（

）A． B． C． D．变式5-3．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．变式5-4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是（

）A． B． C． D．变式5-5．（2022·四川绵阳·中考真题）下列关于等边三角形的描述不正确的是（

）A．是轴对称图形 B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形 D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合变式5-6．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

图1(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

图2变式5-7．（2022·四川自贡·中考真题）如图，△是等边三角形，在直线上，．求证：．变式5-8．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和都是等边三角形，点在上．求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．②若，试求出正方形的面积．考查题型六等边三角形的性质与判定典例6．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（

）A． B． C． D．变式6-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（

）A．B．C．D．变式6-2．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（

）A．5 B． C． D．变式6-3．（2