2021届高考数学三轮复习模拟考试卷（十）【含答案】

2021届高考数学三轮复习模拟考试卷（十）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

I.（5分）设集合4={x|-l<log3X<l},B={y\y=2',xe[0,2]},贝）

A.[0,2）B.（1,3）C.[1,3）D.（1,4）

2.（5分）命题|x+2|..3的否定为（）

A.YxeN,|x+2|<3B.Yx电N,|x+2|<3C.玉eN,

|x+2\..3D.BxeN,|x+2|<3

i1i1i

3.（5分）设a=（73,b=（§）5,c=log]丁则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4.（5分）己知O为坐标原点，角e的终边经过点P（3,〃?）（〃?<0）且sin®=*相，则丽的

单位向量为（）

B噜噜）

A.（1,-1）

「,3回阿D

1010-士噜哥

5.（5分）牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初始温度为7；，则

经过一定时间『后的温度7将满足7-7；=（；）17；,-7；），其中7；是环境温度，〃称为半衰

期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃,需要10分钟，

则欲降温到45°C,大约需要多少分钟？（Zg2«0.3010,/g3=0.4771）（）

A.12B.14C.16D.18

6.（5分）已知z均为复数，则下列命题不正确的是（）

A.若z=N,则z为实数B.若z2<0,贝!]z为纯虚数

C.若|z+l|=|z-l|,则z为纯虚数D.若z3=l,则5=Z2

7.（5分）如图，在四面体ABC。中，AB=CD=3,AC=BD=4U,AD=BC=20AABC

的重心为O,则。0=（）

I)

c

\o•/

B

48

A.2B.-C.-D.3

33

22

8.（5分）已知双曲线C:,-当=l（a>0,1>0）的左、右焦点分别为耳（-c,0）,g（c,O）,A,

8是圆（x-cy+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且与A//^8,则双曲线C的离心

率为（）

.2+/04+77「3+y/17c5+V17

3344

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得。分。

9.（5分）设〃>0,力>0,a+2b=\,贝I（）

A.必的最大值为』B.。2+4〃的最小值为_1

82

C.1+2的最小值为8D.2"+4”的最小值为2/

ab

11.（5分）如图，正方体A8CD-A4GR的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）

A.直线8c与平面ASG。所成的角等于?

B.点C到面ABCR的距离为哼

C.两条异面直线RC和BG所成的角为?

D.三棱柱BB©外接球半径为半

10.（5分）设首项为1的数列｛%｝的前“项和为S”,且以=2S“+”-l,则下列结论正确

的是（）

A.数列｛4｝为等比数列

B.数列｛S.+〃｝为等比数列

C.数列｛《,+1｝为等比数列

D.数列｛2SJ的前〃项和为2-2—1一4

12.(5分)已知曲线y=sin(azr+&)(<y>0)在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心,

4

则下列结论中正确的是()

A.存在,使sin('"+")>-

42

B.存在0,使sin(也土2)=也

42

C.有且仅有一个毛e(0,1),使sin3Xo+?)=1

D.存在x°e(0,l),使sin(<y%+?)<0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)6^11sin2(«+—)+cos2(«-—)=-,若aw(0,i),则a=.

632

14.(5分)AA8C外接圆的半径为1,圆心为O,且2厉+而+衣=0,「两=\AB\,则CA[^B

的值是—.

15.(5分)经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它

是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一

个位置，经度是个二面角，是两个经线平面(经线与地轴所成的半平面)的夹角，某一点的

经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角.纬度是个线面角，某一点的纬

度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角.城市A位置东经120。，北纬48。，

城市B位置为东经120。，北纬18。，若地球的半径为R,则过A,8两点和地心的平面截

球所得的截面圆的劣弧A3的长是—.

16.(5分)已知尸为抛物线公=2py(p>0)的焦点，抛物线内一点A(l,p),M为抛物线上

任意一点，|M4|+|MF|的最小值为3,则抛物线方程为—；若线段题的垂直平分线交

抛物线于尸，。两点，则四边形APFQ的面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,=百csinB+0cosC,

点。为vAB边上一点，AD=2BD=2,8=行.

（1）求3；

（2）求AABC的面积.

18.（12分）已知等差数列｛《,｝的前“项和为S”，出,｝是各项均为正数的等比数列,q=（,

—,仇=8,自-3a=4,是否存在正整数&,使得数列｛，｝的前无项和7；>:,若存在,

求出％的最小值；若不存在，说明理由.

从①邑=20,②邑=2%,③34-4=3这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答.

19.（12分）在四棱锥P-ABC。中，底面/WC力为矩形，R4_LAD,平面R4O_L平面ABCD,

AB=2,P4=Ar>=3.点E在线段PC上（端点除外），平面ABE交PD于点F.

（1）求证：四边形4?所为直角梯形；

（2）若AF=逆，求直线尸C与平面/WEF所成角的正弦值.

2

20.（12分）某相关部门推出了环境执法力度的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有

满意和不满意两个选项，市

民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环

境质量满意的

占60%,对执法力度满意的占75%,其中对环境质量与执法力度都满意的有80人.

（1）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？

（2）为了改进工作作风，针对抽取的200位市民，对执法力度不满意的人抽取3位征求意

见，用&表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求J的分布列与均值.

参考数据及公式:

P(K2..k)0.10.050.0010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2甘属,,

K'=------------------------------->其中n=a+b+c+d-

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

21.（12分）已知椭圆C:二+马=l（a>0>0）的离心率为且，且经过点P（2,l）.直线/与

a2b-2

椭圆C有两个不同的交点A,B,且直线Q4交y轴于〃，直线交y轴于N.

（I）求椭圆C的方程；

（11）设。为原点，若IOMRCWI，求证：直线/经过定点.

22.（12分）己知函数f（x）=qe*—d—2（x-l）（其中e为自然对数的底数，«e/?）.

（1）当。=2时，求八x）的单调区间；

（2）若/（x）有两个极值点，求实数。的取值范围.

答案

x

1.解:vA={x|—l<log3x<l),B={y\y=2,XG[O,2]},

二.A={x[g<x<3},B={y]啜/4},=,3).

故选：C.

2.解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以，命题p：“VxeN,|x+2|..3"的否定为：BxeN,|x+2|<3.

故选：D.

3.解：,・•〃”(5)"3125

:.0<a<b<l7=1°§35>1°§33=|/.C>1,:.c>b>a,

35

故选：D.

4.解：•.•角e的终边经过点P（3,机）（机<0）且由110=噜机，

/.sin^=—rm=^^-m,解得：nr=\,

io

又mvO,:.m=—\,故点尸(3,-1),OP=(3,-1),

，历的单位向量为"=5叵，-巫)，

\OP\1010

故选：B.

1W

5.解：由题意可知55-25=(万)〃(85-25),解得：〃=10,

1J-f1

.-.45-25=(-)'«(85-25),解得：—=logt~,

.-.r=101og,3=-^«16,即大约需要16分钟.

糖2

故选：C.

6.解：对于A,设z=a+bi(a,beR),由z=7,可得a+bi=a-bi,则2Z?i=0,b=0,:.z

为实数，故A正确；

对于8,设z=a+bi(a,匕e7?),贝!]z2="+从+2a玩<0,z2<0,..a=0,则z纯虚数，

故5正确；

对于C,当z=0时，有|z+l|=|z-l|,故C错误；

1e

对于。，由z3=l,得Z3T=0,即(Z-l)(z2+Z+l)=0,可得2=1或2=—+—i,

22

彳=z?,故£)正确.

错误的是C.

故选：C.

7.解：如图，将四面体ABC。还原到长方体AE8”-GCFD中，

易知四面体ABCD的棱是长方体AEBH-GCFD的面对角线，

2222

则DE=sjEA+EB+EC=J，」、，；、亚=『+而)；+侬^=4,

连接E厂交8C于M,连接AM,则AM为8c边的中线，AABC的重心O为40靠近M的

三等分点.

把长方体的对角面AEFD单独画出，如图，记P为AM和E£>的交点.

pnADAn

因为AAOPsAMEP,且——=——=——=2,所以P为AM靠近M的三等分点,

PEMPEM

9Q

即重心O与P点重合，i&OD=PD=-ED=-.

33

故选：C.

8.解：连接8月，AF2,由双曲线的定义，可得4|=2〃，

\BFl\-\BF2\=2a,

由巴|=|Ag|=2c,可得|A耳|=-2a+2c,\BFt\=2c+2a,

4c2+4c2-(2a+2c产c2-lac-CT

在△8耳心中,可得cosNBgf；=

222

4c2+(2c-2a)2-4c2c-a

在△A乙耳中,可得cosNA斗6

2•2c•(2c-2a)2c

由月4//68,可得NBg/=；+ZA丹巴=/，即有cosNBK片+cosNA片6=0,

可得+£Z£=0,化为2c2—3ac—"=o,

2c22c

得2/-3e-1=0,解得e="巫(负的舍去)，

4

故选：C.

9.解：对于A,l=a+2b..2^b,得她，L当且°=工，6时取等号，故A正确；

824

对于3,a2+4b2=(a+2b)2-4ab=l-4ab..,当且仅当°=」，时取等号，故5正

224

确；

对于C,l+-=(l+-)(a+2^)=5+—+—..9,当且仅当a=b=1时取等号，故C错误；

ababab3

对于。，2"+4。.2亚赤=2血，当且仅当q=J_,时取等号，故。正确.

24

故选：ABD.

11.解：正方体ABC。-ABCR的棱长为1,

对于选项A：直线BC与平面A8GR所成的角为NC8£=(,故选项A正确.

对于选项3：点C到面A8G〃的距离为与。长度的一半，即〃=与，故选项3正确.

对于选项C：两条异面直线0c和BG所成的角为工，故选项C错误.

对于选项O：三棱柱叫R-BBG外接球半径r=士;+'=与,故选项。正确.

故选：ABD.

10.解：依题意，由=2S,,+w-l,可得5,用+〃+1=25“+,-1+〃+1=2(5,,+〃)，

•.•$+l=q+l=2,.•.数歹是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项5正确,

nnn+

:.S„+n=2-2-'=2,:.Sn=2"-n,nwN*,2S,,=2'-2n,

数列｛2S,J的前N项和为

2S]+2S)+...+2szl

=(22-2xl)+(23-2x2)+...+(2,,+1-2zi)=(22+23+...+2,,+I)-2X(1+2+...+7J)

二2一一2'"-_2*"5+D=2"Q—一4,故选项。正确，

1-22

当儿.2时,

«„=5„-S,T=2"-〃-2"-'+(n-l)=2n-'-l,

数列｛«„｝不是等比数列，选项A不正确，

•.•4+1=2"'+1+1=2"一+2,

数列｛q+1｝不是等比数列,选项C不正确.

故选：BD.

jr

12.解：•曲线y=sin(5+—)(刃＞0),

4

■jr兀jrk

对称轴为cox-\——=—Fk7r(keZ)，即x=--上一九(keZ)，

424a)co

对称中心对应cox+三=ki(kQZ),即X=一~—+—7T(kGZ)，

4co

在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心，

冗.71

——<1a)>—

4G4

竺」5/r

8,,~~ic

4oriJ7U

40,解得，,即一<—

3冗13444

——<1CD>——

46y4

上.174

W,—

Aco4

选项A,在范围内存在0使sin(丝士工)>正，故选项A正确；

42

选项5,2d?e(―,—],则2口=2万时成立，故选项3正确；

22

选项C,，苧，不是仅有一个毛£(0,1),使sin(Wo+?)=[,故选项C不正确;

选项£),存在/=1,(0=^-,使sin(5o+?)<(),故选项£)正确.

故选：ABD.

13.解：由sin2(«+—)+cos2(cr--)=~Wsin2(«+—)+cos2(a4----)=~,

6326622

得sin2(cr+-)-Fsin2(cr4--)=­.

662

Wsin2(«+—)=—,Wsin(a+—)=±—,

6462

OCW(0,7T),CCd----G(一,---),

666

71冗7万21

a-\=—或ad—=——，

6363

万T7V

a=一或a=­・

62

故答案为：巴或£.

62

14.解：设边3C的中点为。，则存+*=2而.

-2OA+AB+AC=6,/.2OA+2AD=0,二。与O点重合.

-\OA\=\AB\,是等边三角形..•.248=30。.

则CA[CB=Gx2xcos30。=3.

故答案为：3.

A

15.解：设球心为O,由题意和劣弧所对的圆心角4408=48。一18。=30。，即NA08=汽，

6

所以过A,8两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧A8的长£=亚.

6

故答案为：—.

6

16.解：由抛物线的定义可得|MA|+|M*=|MA|+w+与，则最小值为A到准线y=-的

距离，

所以(|M4|+|MF|)丽=0-(-争=3,解得p=2,故抛物线的方程为Y=4)，；

12

由0=2,得41,2),尸(0,1),则AF中点N(],1),kA,=1,

1R

故所垂直平分线P。的方程为)，=-(x-])+],即y=—x+2,

联立口「-x+2,整理得V+4X-8=0,

匕=4y

设P(X1,%),Q(X2,%)，则方+X2=与，XfX,=-8,

所以|PQ|=VmW(T)2-4>(-8)=7La=4«,

则四边形APFQ的面积为:|PQ|-|AF|=gx46x5/5=46,

故答案为炉=4>，4g.

17.解：(1)已知4=6。$出8+68$。，

用正弦定理——=——=―-—=2R,可得：sinA=V3sinCsinB+sinBcosC,

sinAsinBsinC

因为sinA=sin(乃-A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以V5sinBsinC=cosBsinC,

因为sinCwO,可得6sin3=cosB,即tan3=@,

3

因为8七(0,%),可得8=工.

(2)在MiCD中用余弦定理得CD2=BC2+BD2+2BCBD-cosB,

因为AD=2BD=2,CD=@,

所以7=BC2+1—2BCCOS2,可得BC?—V5BC-6=O,

6

因为8c>0,可得8c=2力，

又AB=AD+DB=3,

所以5凶比=；BC-A8-sinB=；x26x3xsin?=¥.

18.解：等比数列｛%｝的公比为式4>0),则4=刍，&=的，于是&-3x8q=4,

qq

即6/+q-2=0,解得q=g,或4=(舍去).

若选①：贝114=a=2,S4=4(7,+~~~d=20)解得d=2.

,c,n(n-l)2,

..Sc„=2nH------x2=«+n,

〃2

F=—―=----,于是

"九(〃+1)nn+]

令1---->-,解得Q3,

k+\4

•.4为正整数，的最小值为4；

3x9

若选②，贝!14=4=2,3q+~2d=2(q+2d),解得q=d=2.

下同①；

若选③，则4="=2,3(q+24)-(4+3d)=8,解得d=g.

工曰0八n(n-l)4224

于是S”=2〃+-----x—=—+—n

2333

311111119311

T=-[(1--)+(---)+•­•+(-一一;)+(―-；―^)1=[二(1一7+■;―-)•

k4324k—1k+1kk+284A+1左+2

令n>3,w—得

*4&+1k+22

皿自，1-VT7.,1+V17

22

又左为正整数，得左.3,即人的最小值为3.

19.(1)证明：因为AB//CD,ABu平面ABEF,C£>《平面ABEF,

所以CD//平面ABEF,又CDu平面尸CD,平面AREFC平面PC£)=EP,

所以CD//EF,又EF<CD=AB,所以四边形AfiEE为梯形，

因为A3_LAO,平面％£>_L平面A8C7),平面以DC平面A88=A£),A3u平面A8CD,

所以45_L平面R4D,又AFu平面R4。，所以AB_LAF,

所以四边形ABER为直角梯形；

(2)解：因为B4_L4),PA=AD=3,所以尸。=3应，

因为4尸=速，所以PZ)=2AF,

2

所以F为P£>的中点，

所以AF_LP£),

由(1)可知，/仍_1平面24。，又P£)u平面P4Z),

所以Afi_LP£>,又凡尸「|48=4，

所以P£)_L平面AflE正，

所以直线PC与平面所成的角就是ZPEF,

又因为EF//CD,所以NPEF=NPCD,

又AB//CD,所以CD_LP£),

所以加“8=四=,3五二迎,

PC^PD-+CD1J(3局+2?11

故直线PC与平面43瓦'所成角的正弦值为主叵.

11

20.解：(1)对环境满意的有200x60%=120(人)，

对执法力度满意的有200x75%=150(人)，

对环境质量与执法力度都满意的有80人，填写列联表如下:

对执法力度满意对执法力度不满意总计

对环境质量满8040120

意

对环境质量不701080

满意

总计15050200

计算K?=200x(80x1。-40x70)、则>328，

120x80x150x509

所以可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关.

（2）由题意知，随机变量g的可能取值为0，1,2,3；

3

计算2《=0)=乎C=里247

490

P©=1)=

PC=2)=

产《=3）=鼻=3

490

。50

则g的分布列为:

0123

P2473993

4909898490

出/古衣厂々、八247,39「9r33

均值为E(^)=0x----i-lx——+2x---F3X-----=—.

49098984905

£_

a2

41

21.解：（I）由题意可得/+7=1,解得:ci=2^2，b=5/2,

a2=bI~2+c~2

所以椭圆的方程为：工+£=1

82

(II)设y1),B(X2,y2),M(0"),wO,则N(O,-f),

Z—1

因为P（2,l），所以直线尸M的方程为:y=---x+t，

-2

-----1-----=1

联立直线与椭圆的方程：82可得：x2+[(r-l)x-2r]2-8=0，

y二---x+t

-2

即即-2t+2)x2-4t(t-1)T+4*一8=0,整理可得:(x-2)[(?-2r+2)x-2?+4]=0,

2t2-4t-\2r-4-t2+4r-2

所以为=--------,v.=--------------=---------

t2-2t+21-2*-21+2/-21+2

2『-4_-r-4r-2

*-1+2f+2'>，2-r+2t+2'

猜想：直线/W过定点。(0,〃)，其中"待定,

证明：因为。4=(X],yt-u),QB=(x2,y2-