空间向量的运算(第一课时)导学案 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

高二数学导学案本学案共7页，第页高二年级数学学科导学案命题班级学号姓名得分课题：空间向量的运算(第一课时)【学习目标】1．通过空间向量的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助空间向量的加法、减法的学习，提升数学运算与直观想象素养．【重点难点】1．了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(重点)2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点、难点)【学习流程】◎基础感知◎探究未知一、知识点梳理1．空间向量(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．(2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法用有向线段eq\o(AB,\s\up8(→))表示，A叫作向量eq\o(AB,\s\up8(→))的起点，B叫作向量eq\o(AB,\s\up8(→))的终点，也可记作a，其模记为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))))或|a|．(4共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行．问题1：向量eq\o(AB,\s\up8(→))与向量eq\o(BA,\s\up8(→))的长度和方向之间有什么关系？2．共面向量(1)共面向量的概念平行于同一个平面的向量，叫作共面向量．(2)三个向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．3．空间向量的加减法与运算律空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b空间向量的加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)问题2：空间向量的减法是否也有交换律与结合律？例1．空间两个向量a，b互为相反向量，已知|b|＝2，则下列结论不正确的是()A．b＝－a B．|a|＝2C．a与b方向相反 D．a＋b＝0例2．在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))等于()A．eq\o(OA,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))C．eq\o(OC,\s\up8(→))D．eq\o(AC,\s\up8(→))跟踪训练：如图所示，在以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，求：(1)单位向量共有多少个？(2)模为eq\r(5)的所有向量．二、空间向量的有关概念方法技巧：特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．例3如图所示，在正六棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′中，(1)与eq\o(AB,\s\up8(→))相等的向量有哪些？(2)eq\o(BD,\s\up8(→))与eq\o(E′A′,\s\up8(→))是相反向量吗？(3)与eq\o(AD,\s\up8(→))平行的向量有多少个？跟踪训练：给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝－eq\o(C1C,\s\up8(→))；③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))．其中正确命题的序号是________．三、空间向量的加减运算方法技巧：1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．例4.如图所示，已知长方体ABCD­A′B′C′D′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)eq\o(AA′,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(B′C′,\s\up8(→))．变式训练：1．在例4的条件下，下列各式运算结果为eq\o(BD′,\s\up8(→))的是()①eq\o(A′D′,\s\up8(→))－eq\o(A′A,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))；②eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB′,\s\up8(→))－eq\o(D′C′,\s\up8(→))；③eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DD′,\s\up8(→))；④eq\o(B′D′,\s\up8(→))－eq\o(A′A,\s\up8(→))＋eq\o(DD′,\s\up8(→))．A．①② B．②③C．③④ D．①④2．在例4的条件下，用向量eq\o(AA′,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))表示向量eq\o(AC′,\s\up8(→))．四、空间向量加、减运算的应用方法技巧：求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点.1当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则.2求两向量的差时，常考虑：①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再使用减法的三角形法则.例5.在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，求证：eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))．变式训练：例5的逆命题是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举出反例．◎达标检测1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向 B．有不相等的模C．不可能是平行向量 D．不可能都是零向量2．在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是()A．点B．直线C．圆D．球面3．在空间四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up8(→))等于()A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c4．化简(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→)))－(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→)))＝________．5．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．(1)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1M,\s\up8(→))－eq\o(MB1,\s\up8(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→))；(4)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC