北师大版选择性332空间向量运算的坐标表示及应用课件（23张）

3.2空间向量运算的坐标表示及应用第三章内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑自主预习新知导学一、空间向量运算的坐标表示1.(1)在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基

.空间向量与三元有序实数组之间是一一对应的关系,把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作p=(x,y,z).单位向量i,j,k都叫作坐标向量.在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量

=p.若点P的坐标为(x,y,z),则向量

的坐标也是(x,y,z).若点A的坐标为(x1,y1,z1),点B的坐标为(x2,y2,z2),则

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).也就是说:一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标

减去

起点的坐标.(2)空间向量运算的坐标表示设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量的运算法则,可以得到:①a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);②a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);③λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;④a·b=x1x2+y1y2+z1z2.2.(1)已知i,j,k分别是空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且

=-i+j-k,则点B的坐标是(

).A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)C.(1,-1,-1) D.不确定(2)已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于(

).A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2) D.(2,1,-2)(3)已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则a·b的值为(

).A.20 B.-29 C.-20 D.29(2)b=(a+b)-a=(-2,4,-2).(3)a·b=(2,-3,5)·(-3,1,-4)=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-6-3-20=-29.答案:(1)D

(2)B

(3)B二、空间向量平行(共线)和垂直的条件1.设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.2.已知a=(1,-5,6),b=(0,6,5),则a与b(

).A.垂直

B.不垂直也不平行C.平行且同向

D.平行且反向解析:由于a·b=0+(-5)×6+6×5=0,故a⊥b.答案:A三、空间向量长度与夹角的坐标表示答案:60°合作探究释疑解惑探究一向量的坐标表示与运算【例1】

(1)如图3-3-3,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在yOz平面内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.求向量

的坐标.(2)已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4),(2,-1,-2).若①p+2q;②3p-q;③(p-q)·(p+q);④cos<p,q>.图3-3-3解:(1)如答图3-3-2,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.答图3-3-2(2)∵点A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),①p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9).②3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15).③(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-[22+02+(-6)2]=-26.1.用坐标表示空间向量的步骤

2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.提醒:空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意一些计算公式的应用.探究二空间向量的平行与垂直解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知,通常需要设出向量的坐标,例如,设向量a=(x,y,z)