2021年甘肃省白银市学科基地高考数学模拟试卷（理科）（二）附答案解析

2021年甘肃省白银市学科基地高考数学模拟试卷(理科)(二)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合4=｛%|1<%<3｝,8=｛用3<%<6｝,则4。8=()

A.(1,3)B.(1,6)C.(-1,3)D.0

2.若复数鲁(a€R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()

A.3B.-3C.0D.：

2

3.已知向量方=(3,4)，a.K=5.\a-b\=2V5，则|五|=()

A.5B.25C.2V5D.V5

4.8.F列命题为真命题的是

A.己知知bwR,则"一］”是>o且b<。”的充分不必要条件

ab

B.已知数列2分为等比数列，则“出<%”是“外〈心”的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面a,若两条异面直线桁，尤满足诜匚a,wuf且耀//p,许//cc,则

a//P

D.e(-x,0),使3必<4»成立

5.等差数列｛即｝，｛%｝的前n项和分别为无，Tn,若$=《、，则£=()

A.|B.C.D.；

317192

6.如果函数y=ax2+bx+a的图象与％轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域(不包含边界

)为()

7.从（0,2）内随机取两个数，则这两个数的和不小于1的概率（）

8.如图，正方体的棱长为1,线段4cl上有两个动点

E,F,且芯尸=♦.给出下列四个结论:

3

①CE1BD；

②三棱锥E-BCF的体积为定值；

③△BE尸在底面4BCD内的正投影是面积为定值的三角形：

④在平面4BC。内存在无数条与平面DE&平行的直线

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

9.设曲线y=f（x）在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线（）

A.垂直于x轴B.垂直于y轴

C.既不垂直于x轴也不垂直于y轴D.方向不能确定

10.已知椭圆的长轴、短轴、焦距长度之和为8,则长半轴的最小值是（）

A.4B.4V2C.4(V2-1)D.2(V2-1)

11.在四面体4BCC中，点尸在4。上，S.AF=2FD,E为BC中点，贝U前

等于()

A.EF=2-AC^-2-AB-3-AD

B.EF=-2-AC-2-AB+3-AD

C.EF=2-AC-2-AB+3-AD

..T1.>12.

D.EF=-2-AC2--3AD

12.12、若偶函数施［1,3］上是增函数，且有最小值0,则它在［一3,-1］上（）

A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0

C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值0

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知a=4勺/谈哪fe;朴靖凝:,则二项式（r+0）5的展开式中》的系数为，

'凰

14.在直角坐标系xOy中，点B与点4(-1,0)关于原点。对称.点POo，%)在抛物线y?=4x上，且直

线AP与BP的斜率之积等于2,则&=.

15.在^ABC中，已知a?+b2-ab=c2,则C的度数为.

16.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是

______cm3.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.(本小题满分10分)设等差数列徐谴的前由项和为，晁，公差为迷已知黑，国外3魏成等差数

歹!J.

(1)求盛的值；

(2)若M，码，：。成等比数列，求(a®葡")的最大值.

18.如图，已知三棱柱ABC—4B1G的侧棱与底面垂直，AA,=AB=AC=2,AB1AC,M、N分

别是CG、BC的中点，点P在线段上，且中=4硒*

(1)证明：无论;I取何值，总有4MlpN；

(2)当4=泄，求平面PMN与平面4BC所成锐二面角的余弦值.

19.已知P(0,-l)是椭圆C的下顶点，尸是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q,满足

PF=7FQ.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过左顶点4作斜率为k(k>0)的直线匕，12,直线k交椭圆C于点D,交y轴于点与椭圆C

的一个交点为E,求端竺1的最小值.

20.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该

型号手机时可选购“手机碎屏险"，保费为x元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏

幕.该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内

未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x的值，

该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费为4元时愿意购买该“手机碎屏险”

的用户比例）；

（1）根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；

（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%.己知更换

一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”

产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？

X1020304050

y0.790.590.380.230.01

参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为b=啊”「可,a=-

bxf

参考数据：中工的5个值从左到右分别记为%1，%%3,%4,％5，相应的'值分别记为力，力，乃，

y4>丫5，经计算有用=1（左一工）8一亍）=-19.2,其中％=/乙/，y=

21.现将一根长为180cm的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为2：

1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为管，(。为常数).以坐标原点为极点，x轴

(y—1।LtSiTiu

正半轴为极轴建立极坐标系.直线，的极坐标方程为。兀(peR).若直线，与曲线C相交于M,N

两点.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)记线段MN的中点为P,求|0P|的值.

23.已知函数/(x)=\3x+2a\+ax.

(1)若f(2)>2,求实数a的取值范围；

(2)当工€(一表1)时，/Q)+|x-l|W0恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：因为集合2={x[l<x<3},B={x|3<x<6},

由集合交集的定义可知，4nB=0.

故选：D.

利用集合交集的定义进行求解即可.

本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题.

2.答案：A

解析：解一鬻=器黯?a-3-(a+3)i

2是纯虚数,

解得:a=3.

故选：A.

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

3.答案：D

解析：

本题考查了向量的数量积性质，属于基础题.

利用数量积的运算性质即可得出.

解：ria-3|=2近，.•.片+片-21不=20,

「向量b=(3,4)，a­/?=5>

a2+(迎2+42y-2x5=20，

化为方2_5，

则|五|=V5.

故选：D.

4.答案：C

解析:

选项M中，,+"-=-2=土Q+2=g+">W0=ab<0是a>0且b<0的必要不

ababab

充分条件，所以M错；

选项5中，由。1<%<小得'%I。或f0,，可以推出。4<。5>但若。4<。5，贝1J该

[q>l[0<9<1

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,-1,1,-1,1,-1•…“，此时推不出外<%<生，

4x044

所以B错；选项。中，当x0<0时，>(?。=1=3%>4%所以。错.

故答案为C.

5.答案：B

解析：

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

利用等差数列的性质可得：詈=¥

06Z11

ii(ai+aii)

42.%一2_£11_2X11_匚

腑•b()-笔包R-T11-3xll+l_17'

故选:B.

6.答案：C

解析：解：因为函数丫=a/+bx+a的图象与久轴有两个交点，

所以a力0,△=b2—4a2>0,即(b+2a)(b—2a)>0,

(b+2a>0-v.(b+2a<0

即Bn｛"2a>0或lb-2a<0'

则其表示的平面区域为选项C.

故选c.

由、=。/+/?%+。的图象与％轴有两上交点，知△>()；进一步整理为a、b的二元一次不等式组，再

画出其表示的平面区域即可.

本题主要考查由二元一次不等式组(数)画出其表示的平面区域(形)的能力.

7.答案：C

解析:解：从(0,2)内随机取两个数,

设取出的两个数为x、y,

则有0<x<2,0<y<2,其表示的区域为纵横坐标都在(0,2)

之间的正方形区域，

其面积为S=2x2=4,

而x+y<1表示的区域为直线x+y=1下方，且在0<x<1,

0<y<l表示区域内部的部分，如图，

x+y<1表示的区域其面积为S'=[x1x1=：,

两数之和不小于1的概率是：pi-£L=i-l=Z.

=S48

故选：C.

设取出的两个数为小y,则有0<x<2,0<y<2,其表示的区域为纵横坐标都在(0,2)之间的正

方形区域，面积为S=2x2=4,%+yV1表示的区域为直线%+y=1下方，且在0<%<1,0<

y<1表示区域内部的部分，如图，x+y<l表示的区域其面积为S'=^xlxl=；,由此利用几何

概型和对立事件概率计算公式能求出两数之和不小于1的概率.

本题考查概率的求法，考查几何概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

8.答案：D

解析：解：•••B。1•平面4CG，

•••BDLCE,故①正确；

•••点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值,

••・三棱锥8-CEF的体积为定值，故②正确；

线段EF在底面上的正投影是线段GH,

•••△BEF在底面4BCC内的投影是△BGH,

•••线段E尸的长是定值，

线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；

设平面4BCD与平面DEA的交线为，，则在平面4BCD内与直线/平行的直线有无数条，故④对.

故选D.

由BDJ•平面4CG，知BDJ.CE；

由点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CE尸的距离也是定值，知三棱锥B-CEF的体积为定值;

线段EF在底面上的正投影是线段GH,故^BEF在底面ABC。内的投影是△BGH,由此能导出△BG”的

面积是定值；

设平面48CD与平面CE4的交线为1,则在平面/BCD内与直线/平行的直线有无数条.

本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，要熟练掌握棱柱的结构特征.

9.答案:B

解析：解：•.・曲线y=/(x)在某点处的导数值为0,

.•・切线的斜率为0,

故选：B.

曲线y=/(x)在某点处的导数值为0,可得切线的斜率为0,即可得出结论.

本题考查了导数的几何意义，属于基础题.

10.答案：C

解析：解：设长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,则2a+2b+2c=8,即a+b+c=4

(b+c)2=(4—a)2<2(b2+c2)=2a2,

即可得等式(4一a)2W2a2,即a?+8a-16N0

解之得a<-4-4鱼(舍)或a>4>/2-4

故a的最小值为4(夜-1).

故选：C.

设长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,则2a+2b+2c=8,整理后两边平方根据均值不等式可得(4-

a)2<2a2,进而求得a的范围.

本题主要考查了椭圆性质，考查学生的计算能力.属基础题.

11.答案：B

解析：

本题考查向量的线性运算，主要考查学生的运算能力.属于基础题.

直接利用向量的线性运算的应用求出结果.

解：在四面体4BCD中，点尸在AD上，且4尸=2FD,E为8c中点，

连接4E,

所以前=AF-AE=|历-G荏+|^4C)

=--AC--AB+-AD.

223

故选：B.

12.答案：A

解析：解：由偶函数的性质，

•偶函数/Q)在口,3］上为增函数，

•♦・偶函数/(%)在上为减函数，

又偶函数/(乃在［1,3］上有最小值0,

.•・偶函数/(%)在上有最小值0

故应选A.

13.答案：一蹒

定密1--1

解析：试题分析：因为।尸减城③富哥T&=一募迷城磬店相既=：,

所以a=4］，俨族磔・京芬至痂=2,(%2+受)5=然，孑］",

7：赖冢军’

由用双=磕②智7备1=2皤"5，

令3r-5=l得r=2,所以展开式中x的系数为一睡七。

考点：本题主要考查定积分计算，二项式定理及二项式系数的性质。

点评：小综合题，先计算定积分求a,再求展开式中》的系数。

14.答案：1+或

解析：

利用关于原点的对称性即可得出点B的坐标，利用斜率的计算公式即可得出出与y。的关系式，把点P

代入抛物线的方程又得到一个关系式，联立即可得出

本题考查与抛物线有关的求参数的问题，中心对称问题，斜率的计算公式.

解：•••点B与点4(一1,0)关于原点。对称，.••8(1,0).

/(AP=,fcgp='，

A尸X0+l"X0-l

v^AP,^BP=2,

.9=2

又•.・点PG，%)在抛物线y2=4x上，羽=4x0.

代入得到靠J=2,化为诏-2%0-1=0,

解得质=竽=1土

%0>0，

・•・%。=1+y/2.

故答案为1+遮.

15.答案：=

解析：解：由+52-Qb=。2,得到02+52一=Qb,

根据余弦定理得：cosC=两=々=工，

27ab2ab2

又ce(o,〃)，所以c=g.

故答案为：；

把已知条件移项变形得到。2+炉-c2=ab,然后利用余弦定理表示出cosC的式子，把变形得到的

式子代入即可求出cosC的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.

此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，是一道综合题.

16.答案：等

解析：解：球的半径为JC)2+42=5(sn),球的体积为£x53=等9n3)

故答案为毁

由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式求球的体积.

本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股

定理.

17.答案：(1)4=2;(2)：.

解析：试题分析：(1)利用等差数列的求和公式以及等差中项得到关于的方程，求出d值；(2)

利用等比中项求出4,S2利用二次函数求其最值.解题思路：涉及等差数列、等比数列的计算

问题，往往借助基本量,,4(g),”来计算.

试题解析：(1)由国，Sj+16♦成等差数列得国+64=2a+2,:2分即(％+刃+(4/+6吟

=2(3^+3d)+2,得d=24分

(2)由.，.，的成等比数列得/2=—,即(.+刈2=.(.+4吟，解得,=16分所

nT(x+OL),0—22JI—311,1

以4=.+0f—D4=2"—1sli=空心叱=7.8分所以三K一=——=-X---)+-

2Snnn33

.9分所以，当n=3时，3三2的最大值为10分

义3

考点：1.等差数列；2.等差中项；3.等比中项.

18.答案：（1）证明：如图，以4为原点，AB,AC,44所在直线分别为久，y,z轴，建立空间直角坐

标系力一xyz.

则P(240,2),很(1,1,0),M(0,2,1),

从而丽=(1-24,1,—2)，宿=(0,2,1)，

则两-4M=(l-2A)xO+lx2+(-2)x1=0,

无论4取何值，总有4M1PN.

(2)平面4BC的一个法向量为五=(0,0,1),

当；1=5时，P(l,0,2),M(0,2,l),N(1,1,0),

PM=(-1,2,-1),PN=(0,1,-2),

设平面PMN的法向量记=(x,y,z),

-PM=—%+2y-z=0

则

m•P/V=y-2z=0

取y=2,则％=3,z=l,得沆=(3,2,1),

设平面PMN与平面ABC所成锐二面角的平面角为依

cos。=|cos<沅,元>1=1器I=盍=臂

平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值为四.

14

解析：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题,

注意向量法的合理运用.

(1)以AB,AC,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,求出各点的坐标及

对应向量的坐标，易判断丽•丽^=0，即4MJ.PN.

(2)分别求出平面4BC的一个法向量和平面PMN的法向量，由此利用向量法能求出平面PMN与平面

48c所成锐二面角的余弦值.

19.答案：解：⑴由题意设椭圆C：^+y2=l,且F(c,0),则由两=7而，知＜2(景］

代入椭圆C的方程，绥一工=1,化简得：3a2=牝2,

49a249

又炉=a2—c2=1,/.a2=4.

从而椭圆C的标准方程为9+y2=1；

(2)设直线。的方程为y=k(x+2),

(y-k(x+2)

联立J^+y2=i，得(％+2)[4/口+2)+0-2)]=0.

一耿2+2

匕4=—2,%£)=4k2+1

直线%的方程可设为y="'，

(y-kx

联立［次+外=1，解得E点的横坐标出=焉,

।汨|4。1+|48|_\X-XA\+\X-XA\_X-2X/(

2,得|阳_DkdBD

2

-8k+2,,41+3

宝4r+4=V4F+l+^=>2V2.

2V4k2+1

J4H+1

当且仅当V4k2+1=森言即k=:时取等号.

••・当仁：时，吟罂的最小值为2a

/|C/D|

9

解析：(1)由题意设椭圆C：3+y2=1,由而=7而，求得Q的坐标，代入椭圆C的方程可得3a2=牝2,

结合隐含条件求得。2,则椭圆方程可求;

(2)设直线k的方程为y=k(x+2),联立直线方程与椭圆方程，求出。的横坐标，可设直线。的方程

y=kx,与椭圆方程联立，求出E的横坐标，结合匕〃。，得嗯鲁==空华,代

\XE\\XE\

入点的坐标，化简整理后利用基本不等式求得最小值.

本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查运算能力，属中档题.

20.答案：解：(1)由已知得久=30,y=0.4，

Sf=i(Xi-x)(yt-y)=-19.2.优式々一寸=IQOO.

b_X：=i（x「x）（y-y）

=—0.0192,

E葭（超-为2

a=y—bx=0.976,

y关于x的回归方程为y=-0.0192x+0.976；

(2)能把保费支定为5元.

理由如下：若保费x定为5元，则估计y=—0.0192x5+0.976=0.88.

估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为

2000000x0.88X5-2000000X0.88X0.2%X2000-1000X1000=0.76X1。6(元)=76(万元

)>70(万元).

•••把保费x定为5元.

解析：(1)由已知表格中的数据求得匕,或可得线性回归方程；

(2)求出保费x定为5元该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较

得答案.

本题考查回归方程的求法，考查计算能力，是中档题.

21.答案：解：解：设长方体的宽为x(cm),则长为2x(cm),高为若与(cm).

故长方体的体积为U(x)=2/(45—3x)=90x2—6x3(cm3)(0<x<15).

从而『(x)=180x-18x2=18x(10-x).

令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=10,因此x=10.

当0<x<10时，V'(x)>0,当10<x<15时，V'(x)<0,

故在x=10处U(x)取得极大值，并且这个极大值就是U(x)的最大值.

从而最大体积U=V'(x)=9x102-6xl03(cm3),此时长方体的长为20cm,高为15cm.

二当长方体的长为20cm时，宽为lOczn,高为15