第二型曲面积分论文

PAGEPAGE1目录TOC\o"1-2"\h\z\u1引言 12文献综述 13预备知识 13.1第二型曲面积分的定义 13.2第二型曲面积分的性质 24常用计算公式 25Mathematica相关知识 46第二型曲面积分的计算 56.1用mathematica计算 56.2分项投影法 66.3参数法 86.4利用高斯公式 86.5定义法 126.6解题技巧（轮换对称性） 147结论 157.1主要观点 157.2启示 157.3局限性 157.4努力方向 16参考文献 171引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。在第二型曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。由于第二型曲面积分的的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定难度，本文就第二型曲面积分的的计算方法进行了归纳和总结，并用计算机辅助求解.2文献综述众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲面积分的计算.刘玉琏在文献《数学分析讲义》中介绍了第二型曲面积分的概念、性质，并且给出计算第二型面积分的定理.在文献《数学试题精选与大体技巧》中概括了第二型曲面积分被积函数的类型.薛嘉庆在文献《高等数学题库精编》总结了根据被积函数类型的不同，有不同的计算方法，并且列举了相应的例子.在文献《数学分析简明教程》中探究第二型曲面积分可以化为定积分来计算公式并给出相应的证明.在文献《华东师范大学教学系》介绍了在第二型曲面积分的计算中将路径的参数方程表示出来，在文献《高等数学解题方法与技巧》简述了做题常用的技巧.阳明盛.林建华在文献《Mathemactica基础及数学软件》中给出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式.3预备知识 3.1第二型曲面积分的定义设S为光滑的有向曲面，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z)在S上有界，把S任意分成n块有向曲面，△S，i=1,2，n，记△S在xy平面上的有向投影为（△S），(，，)为△S上任取定的一点,为每个△S的直径中的最大者,作和数，(，，)（△S）.如果(，，)（△S）总存在，则称此极限值为R任有向曲面S上沿xy平面的第二型曲面积分，记为.=,其中S取正向.5Mathematica相关知识5.1曲面表示法(1)直角坐标显式：z=z(x,y);(2)直角坐标隐式：F（x,y,z）;(3)参数形式：x=x(u.v),y=(u,v),z=(u.v);(4)数据形式：即将曲面上的点表示为,,;.5.2曲面绘制法显示曲面z=f(x,y)绘图函数的调用格式：Plot3D[f(x,y),{x,x1,x2},{y,y1,y2},可选项]例1绘制函数z=x+y—18(x+y)在区域-4≦x≦4，—4≦y≦4上的图形图1-4图1-4-2024-4-20240200400-4-20245.3隐式曲面F（x,y,z）=0绘图函数的调用格式：ContourPlot3D[F(x,y,z),{x,x1,x2},{y,y1,y2},{z,,z1,z2},可选项]5.4Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]:计算累次积分6第二型曲面积分的计算6.1用mathematica计算例2求曲面积分，其中S是球面，被平面z=h(0<h<b)所截和顶部z解首先取b=2,h=1画出曲面，确定投影区域：a1=Plot3D[Sqrt[2^2-x^2-y^2],{x,-2,2},{y,-2,2},DisplayFunction->Identity];a2=Plot3D[1,{x,-2,2},{Y,-2,2},DisplayFunction->Identity];Show[a1,a2,AxesLabel->{"x","y","z"},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->$DisplayFunction]图2图2易知，曲面S在xoy平面上的投影区域D是，根据被积函数和积分区域的特点，采用极坐标计算曲面积分：z[x_,y_]:=Sqrt[b^2-x^2-y^2];d=1/z[x,y]*Sqrt[1=D[z[x,y],x]^2+D[z[x,y],y]^2]/{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}Integrate[d*r,{t,0,2pi},{r,Sqrt[b^2-h^2]}].6.2分项投影法例3计算积分，∑为球面x取外侧.解：对积分，分别用记前半球面和后半球面的外侧.则有：,D:y,:,D:y,因此,=.对积分,分别用和记右半球面和左半球面的外侧,则有:;:.因此,+=.对积分,分别用和记上半球面和下半球面的外侧,则有:;:.因此,=+=.综上,=.例4计算积分I=，其中S是三个坐标面与平面x+y+z=1围成的四面体的外表面.解：分析：S由四面光滑曲面S,S，S，S组成，其中S,S，S分别是xoy,zox,yoz平面上的三角形，S是平面x+y+z=1围成在第一卦线中的部分.于是I=(+++)x=I+I+I+I解法1：由于S在yoz和zox两个坐标面上的投影为线段I=又由于S在xoy平面，于是I=0同理可得I，I=0I==4==.于是I=I+I+I+I=.6.3参数法例5计算积分，其中S是球面x在x部分取外侧解：对S：x在x部分取上下侧得z=±D={(x,y)},于是令=图3图36.4利用高斯公式Gauss公式：注意公式只对闭合曲面成立，Gauss公式将第二型曲面积分转化为三重积分，被积函数（向量场散度）容易求得，有时十分方便求解.如果空间曲面较为复杂但只差一个简单曲面或平面即可构成闭合曲面，则可利用 补面法进行计算，此时也应特别注意方向的判断.例6计算,其中是边长为b的正立方体表面并取外侧．解应用高斯公式，所求曲面积分等于图4o图4o==例7设空间区域由曲面与平面围成，其中为正常数.记表面的外侧为的体积为证明分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明.证明：设则由高斯公式知由于则.例8计算曲面积分I=，其中∑为曲面z=1-x的上侧解：添加平面，取下侧则是一个封闭曲面，取外侧，设所围成的空间区域为P=xz,Q=2yz,R=3xy由奥高公式I===图5图5注：（1）Gauss公式的条件是：封闭、外侧、片倒是连续，三者缺一不可.（2）正确确定P,Q,R三个函数，并注意分别对那个变量求偏导数曲面积分计算技巧.若积分曲面∑关于想，x,y,z具有轮换对称性，则,,例9计算曲面积分，其中s是球面.解：分析：若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷.球面关于x,y,z具有对称性=图6图66.5定义法当单位法向量容易求得，易于表达时可考虑用定义法.例10计算，其中S是椭球面，外侧.此题可利用参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法等多种方法计算，难度不大，答案是.例11计算I=，其中∑是锥面x(0),cos为锥面的外法线的方向余弦.解：(解法1)如图：图7图7∑：z=(0)，下侧∑在xoy面上的投影D：x,dS=.zcos,,I==解法2利用第一、第二型曲面积分的关系设空间有向曲面S上任一点的法线正向的方向角为，则=.I===.例12计算（1）∑为锥面z=在0部分的下侧；（2）∑为锥面z=与平面z=1所围曲面的内侧.解：如下图图8图8(1)∑：z=，0，下侧D：,=-,=-=.（2）∑=∑+∑∑：z=，0，上侧,∑：，下侧,图9D：.图9=-=-.小结：将第二型曲面积分化为二重积分的方法一代：将曲面∑的方程代入被积函数;二投：将曲面∑投影到坐标平面;三定号：由曲面的侧来决定取正号还是负号;四换域：改变积分域，曲面∑变为投影域.6.6解题技巧（轮换对称性）例13计算I=，其中∑是球面的外侧解：由轮换对称性I===,==4.例14计算曲面积分，其中s是球面.解：分析：若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷球面关于x,y,z具有对称性,=.7结论7.1主要观点第二型曲面积分的被积函数类型有多种，学生在做题的时候学生容易受思维的局限，对于哪一种的类型不知用何种方法，此外，对于有些类型的题可以一题多解，虽然用其中一种能解决，但有时显得繁琐，这是可以思考它其它种解法，这样使解题变得简单.随着技术的发展，我们还可以借助数学软件Mathematica进行求解使得计算简单.7.2启示文章对第二型曲面积分中被积函数类型做了一个系统的归纳，这对在做题时容易辨析用何种方法计算及灵活使用计算技巧，从而能进一步提高学生的解题能力，对公式定理的记忆也有较大的帮助.7.3局限性由于第二型曲面积分计算灵活性较大，在文章中解题技巧不能一一归纳出.另外，Mathematica在例题中的应用没能一一写出，本文仅针对几个典型例题进行了分析.7.4努力方向除了文中所述的理论知识外，由于第二型曲面积分的解题方法﹑技巧是复杂多变的，而且要有一定的实践经验为基础.在今后的学习和实践中将不断的深入研究，结合具体的实践经验，以弥补文章中的许多不足之处.参考文献[1]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2003:11-19.[2]富景龙.数学试题精选与大体技巧[M].北京：高等教育出版社，2000:89-99.[3]薛嘉庆.高等数学题库精编（理工类）[M].沈阳：东北大学出版社，2000:198-200.[4]刘国均，陈绍业.数学分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，2002:111-119.[5]丁晓庆编.21世纪高等院校教材（工科数学分析）[M].北京：科学出版社，2008:61-75.[6]刘莲芬.曲线积分和曲面积分的教学探索[J].重庆交通学院学报，1988,(7):3-4．[7]余孝华.一类可直接化为累次积分的曲面积分[J].大学数学，1999,(5):2-6.[8]王景克.高等数学解题方法与技巧[M].北京：中国林业出版社，2002:111-119.[9]线积分与曲面积分解题技巧[J].有色金属高教研究，1995,(4):4-6.[10]HB.巴格莫洛夫.代数与微积分自学辅导[J]，1999,(9):3-6.[11]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001:56-64.[12]陈先开.数学题型集粹[M].北京：理工大学出版社,2011:17-30.[13]格.马.菲赫金哥尔茨.数学分析原理[M].北京：人民教育出版社,1979:108-117.[14]武燕,张丽,李靖,二类曲线和曲面积分的对称性[J].中国教育技术装备,2008:(5):7-8.[15]阳明盛,林建华.Mathemactica基础及数学软件[M].大连：理工大学出版,2006：151-159.致谢值此论文完成之际，谨在此向四年来给予我关心、帮助的老师、同学和家人表示衷心的感谢！首先，特别感谢我的指导老师李自田老师，在论文的撰写过程中，从选题、编写提纲、资料收集、撰写、修改、最